(x-2)/(x-7)*(3x-12)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x - 2}{x - 7} \left(3 x - 12\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x - 2}{x - 7} \left(3 x - 12\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x - 2}{x - 7} \left(3 x - 12\right) = 0$$
denominador
$$x - 7$$
entonces

x no es igual a 7

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$3 x - 12 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
3.
$$3 x - 12 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$3 x = 12$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3

x = 12 / (3)

Obtenemos la respuesta: x2 = 4
pero

x no es igual a 7

$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x - 2}{x - 7} \left(3 x - 12\right) < 0$$
$$\frac{-2 + \frac{19}{10}}{-7 + \frac{19}{10}} \left(-12 + \frac{3 \cdot 19}{10}\right) < 0$$

-21     
---- < 0
170     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 2$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 2$$
$$x > 4$$