log7(3x+1)>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} = 2$$
$$\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} = 2$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(7)
$$\log{\left(3 x + 1 \right)} = 2 \log{\left(7 \right)}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$3 x + 1 = e^{\frac{2}{\frac{1}{\log{\left(7 \right)}}}}$$
simplificamos
$$3 x + 1 = 49$$
$$3 x = 48$$
$$x = 16$$
$$x_{1} = 16$$
$$x_{1} = 16$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 16$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 16$$
=
$$\frac{159}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(3 x + 1 \right)}}{\log{\left(7 \right)}} > 2$$
$$\frac{\log{\left(1 + \frac{3 \cdot 159}{10} \right)}}{\log{\left(7 \right)}} > 2$$

   /487\    
log|---|    
   \ 10/ > 2
--------    
 log(7)     

Entonces
$$x < 16$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 16$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1