log^7(3x+1)>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(3 x + 1 \right)}^{7} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(3 x + 1 \right)}^{7} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{\sqrt[7]{2}}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{- \sqrt[7]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}}}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{- \sqrt[7]{2} \cos{\left(\frac{\pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{2} i \sin{\left(\frac{\pi}{7} \right)}}}{3}$$
$$x_{4} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{\sqrt[7]{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{2} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}}}{3}$$
$$x_{5} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{\sqrt[7]{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{2} i \sin{\left(\frac{2 \pi}{7} \right)}}}{3}$$
$$x_{6} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{- \sqrt[7]{2} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} - \sqrt[7]{2} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}}}{3}$$
$$x_{7} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{- \sqrt[7]{2} \cos{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)} + \sqrt[7]{2} i \sin{\left(\frac{3 \pi}{7} \right)}}}{3}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{\sqrt[7]{2}}}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{e^{\sqrt[7]{2}}}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{1}{3} + \frac{e^{\sqrt[7]{2}}}{3}\right)$$
=
$$- \frac{13}{30} + \frac{e^{\sqrt[7]{2}}}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(3 x + 1 \right)}^{7} > 2$$
$$\log{\left(1 + 3 \left(- \frac{13}{30} + \frac{e^{\sqrt[7]{2}}}{3}\right) \right)}^{7} > 2$$

    /        7 ___\    
   7|  3     \/ 2 |    
log |- -- + e     | > 2
    \  10         /    
    

Entonces
$$x < - \frac{1}{3} + \frac{e^{\sqrt[7]{2}}}{3}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > - \frac{1}{3} + \frac{e^{\sqrt[7]{2}}}{3}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1