2cos^2x+(2-sqrt(2))cosx

+ desigualdades

¡Resolver la desigualdad!

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]

     2      /      ___\            ___
2*cos (x) + \2 - \/ 2 /*cos(x) < \/ 2 

$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(2 - \sqrt{2}\right) \cos{\left(x \right)} < \sqrt{2}$$

2*cos(x)^2 + (2 - sqrt(2))*cos(x) < sqrt(2)

Solución detallada

Se da la desigualdad:
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(2 - \sqrt{2}\right) \cos{\left(x \right)} < \sqrt{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(2 - \sqrt{2}\right) \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(2 - \sqrt{2}\right) \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2}$$
cambiamos
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(2 - \sqrt{2}\right) \cos{\left(x \right)} - \sqrt{2} = 0$$
$$\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(2 - \sqrt{2}\right) \cos{\left(x \right)}\right) - \sqrt{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$2 w^{2} + w \left(2 - \sqrt{2}\right) - \sqrt{2} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$2 w^{2} - \sqrt{2} w + 2 w - \sqrt{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 2 - \sqrt{2}$$
$$c = - \sqrt{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2 - sqrt(2))^2 - 4 * (2) * (-sqrt(2)) = (2 - sqrt(2))^2 + 8*sqrt(2)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{\left(2 - \sqrt{2}\right)^{2} + 8 \sqrt{2}}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4} \right)}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{7 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \cos^{2}{\left(x \right)} + \left(2 - \sqrt{2}\right) \cos{\left(x \right)} < \sqrt{2}$$
$$\left(2 - \sqrt{2}\right) \cos{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} + 2 \cos^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} < \sqrt{2}$$

     2/1    pi\   /      ___\    /1    pi\     ___
2*sin |-- + --| + \2 - \/ 2 /*sin|-- + --| < \/ 2 
      \10   4 /                  \10   4 /   

pero

     2/1    pi\   /      ___\    /1    pi\     ___
2*sin |-- + --| + \2 - \/ 2 /*sin|-- + --| > \/ 2 
      \10   4 /                  \10   4 /   

Entonces
$$x < \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{\pi}{4} \wedge x < \pi$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > \frac{\pi}{4} \wedge x < \pi$$
$$x > \frac{7 \pi}{4}$$

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

  /   /            7*pi\     /pi            \\
Or|And|pi < x, x < ----|, And|-- < x, x < pi||
  \   \             4  /     \4             //

$$\left(\pi < x \wedge x < \frac{7 \pi}{4}\right) \vee \left(\frac{\pi}{4} < x \wedge x < \pi\right)$$

((pi < x)∧(x < 7*pi/4))∨((x < pi)∧(pi/4 < x))

Respuesta rápida 2 [src]

 pi             7*pi 
(--, pi) U (pi, ----)
 4               4   

$$x\ in\ \left(\frac{\pi}{4}, \pi\right) \cup \left(\pi, \frac{7 \pi}{4}\right)$$

x in Union(Interval.open(pi/4, pi), Interval.open(pi, 7*pi/4))

Gráfico