(3-log2x)/(1+cosx)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{3 - \log{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{3 - \log{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{3 - \log{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
cambiamos
$$\frac{- \log{\left(2 x \right)} - \cos{\left(x \right)} + 2}{\cos{\left(x \right)} + 1} = 0$$
$$\frac{3 - \log{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \log{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$\frac{3 - \log{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} - 1 = 0$$
Usamos la regla de proporciones:
De a1/b1 = a2/b2 se deduce a1*b2 = a2*b1,
En nuestro caso

a1 = 3 - log(2*x)

b1 = 1 + cos(x)

a2 = 1

b2 = 1

signo obtendremos la ecuación
$$3 - \log{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$$
$$3 - \log{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} + 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

3 - log2*x = 1 + cos(x)

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

3 - log2*x = 1 + cosx

Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- \log{\left(2 x \right)} = \cos{\left(x \right)} - 2$$
Esta ecuación no tiene soluciones
hacemos cambio inverso
$$\log{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(x \right)} = w$$
$$\log{\left(x \right)} = w$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$x = e^{\frac{w}{1}}$$
simplificamos
$$x = e^{w}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{3 - \log{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(x \right)} + 1} \geq 0$$
$$\frac{3 - \log{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}\right) \right)}}{\cos{\left(- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2} \right)} + 1} \geq 0$$

       /  1    3\     
3 - log|- - + e |     
       \  5     /     
-----------------     
        /      3\ >= 0
        |1    e |     
 1 + cos|-- - --|     
        \10   2 /     
     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq \frac{e^{3}}{2}$$

 _____          
      \    
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       x1