Se da la desigualdad:
$$- \left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(27 \right)}}\right)^{3} + 2 \frac{\log{\left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 3 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} < \sqrt{\log{\left(37 \right)}}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(27 \right)}}\right)^{3} + 2 \frac{\log{\left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 3 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} = \sqrt{\log{\left(37 \right)}}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 1788.67665196853$$
$$x_{2} = 1788.67665196853 - 2.61906022992202 \cdot 10^{-19} i$$
$$x_{3} = 1788.67665196853 - 6.25131020430432 \cdot 10^{-18} i$$
$$x_{4} = 1788.67665196853 + 6.16245637266822 \cdot 10^{-19} i$$
$$x_{5} = -4.01827900812026 - 0.391088504101255 i$$
$$x_{6} = 1.02543472295054$$
$$x_{7} = -4.01827900812026 + 0.391088504101255 i$$
$$x_{8} = 1788.67665196853 - 6.10781952953289 \cdot 10^{-18} i$$
$$x_{9} = 1788.67665196853 + 2.22668296838078 \cdot 10^{-12} i$$
$$x_{10} = 1788.67665196853 - 4.61465606040248 \cdot 10^{-19} i$$
$$x_{11} = 1788.67665196853 + 4.5027089809862 \cdot 10^{-17} i$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 1788.67665196853$$
$$x_{2} = 1.02543472295054$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1.02543472295054$$
$$x_{1} = 1788.67665196853$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1.02543472295054$$
=
$$0.925434722950539$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{\log{\left(27 \right)}}\right)^{3} + 2 \frac{\log{\left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 3 \right)}}{\log{\left(9 \right)}} < \sqrt{\log{\left(37 \right)}}$$
$$- \left(\frac{\log{\left(0.925434722950539 + 1 \right)}}{\log{\left(27 \right)}}\right)^{3} + 2 \frac{\log{\left(3 + \left(0.925434722950539^{2} + 0.925434722950539 \cdot 4\right) \right)}}{\log{\left(9 \right)}} < \sqrt{\log{\left(37 \right)}}$$
4.04525774977798 0.281206762661955
---------------- - ----------------- _________
log(9) 3 < \/ log(37)
log (27)
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 1.02543472295054$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x2 x1
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 1.02543472295054$$
$$x > 1788.67665196853$$