(x-3)/(5-x)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x - 3}{5 - x} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x - 3}{5 - x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x - 3}{5 - x} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por el denominador 5 - x
obtendremos:
$$\frac{\left(3 - x\right) \left(5 - x\right)}{x - 5} = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

3+x5+x-5+x = 0

Sumamos los términos semejantes en el miembro izquierdo de la ecuación:

(3 - x)*(5 - x)/(-5 + x) = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\frac{\left(3 - x\right) \left(5 - x\right)}{x - 5} + 5 = 5$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (5 + (3 - x)*(5 - x)/(-5 + x))/x

x = 5 / ((5 + (3 - x)*(5 - x)/(-5 + x))/x)

$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 3$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x - 3}{5 - x} \leq 0$$
$$\frac{-3 + \frac{29}{10}}{5 - \frac{29}{10}} \leq 0$$

-1/21 <= 0

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 3$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1