(x-5)(x+2)^2/(x-1)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} = 0$$
denominador
$$x - 1$$
entonces

x no es igual a 1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 5 = 0$$
$$x + 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 5$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 5
3.
$$x + 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -2$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -2
pero

x no es igual a 1

$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 5\right) \left(x + 2\right)^{2}}{x - 1} \leq 0$$
$$\frac{\left(-5 + - \frac{21}{10}\right) \left(- \frac{21}{10} + 2\right)^{2}}{- \frac{21}{10} - 1} \leq 0$$

 71      
---- <= 0
3100     

pero

 71      
---- >= 0
3100     

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 5$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1