1/log(x-1)(x*1/6)>=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\frac{1}{6} x}{\log{\left(x - 1 \right)}} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\frac{1}{6} x}{\log{\left(x - 1 \right)}} = -1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + 1$$
$$x_{1} = 6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(6 W\left(\frac{1}{6 \sqrt[6]{e^{1}}}\right) + 1\right)$$
=
$$6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + \frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\frac{1}{6} x}{\log{\left(x - 1 \right)}} \geq -1$$
$$\frac{\frac{1}{6} \left(6 W\left(\frac{1}{6 \sqrt[6]{e^{1}}}\right) + \frac{9}{10}\right)}{\log{\left(-1 + \left(6 W\left(\frac{1}{6 \sqrt[6]{e^{1}}}\right) + \frac{9}{10}\right) \right)}} \geq -1$$

          / -1/6\           
    3     |e    |           
    -- + W|-----|           
    20    \  6  /           
---------------------- >= -1
   /          / -1/6\\      
   |  1       |e    ||      
log|- -- + 6*W|-----||      
   \  10      \  6  //      

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + 1$$

 _____          
      \    
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       x1