(4x^4-4x^3+x^2)/(-2x^2+5x-2)+(2x^3-7x^2+5x+1)/(x-2)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x^{2} + \left(4 x^{4} - 4 x^{3}\right)}{\left(- 2 x^{2} + 5 x\right) - 2} + \frac{\left(5 x + \left(2 x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) + 1}{x - 2} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x^{2} + \left(4 x^{4} - 4 x^{3}\right)}{\left(- 2 x^{2} + 5 x\right) - 2} + \frac{\left(5 x + \left(2 x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) + 1}{x - 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x^{2} + \left(4 x^{4} - 4 x^{3}\right)}{\left(- 2 x^{2} + 5 x\right) - 2} + \frac{\left(5 x + \left(2 x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) + 1}{x - 2} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{\left(x - 1\right) \left(6 x + 1\right)}{x - 2} = 0$$
denominador
$$x - 2$$
entonces

x no es igual a 2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$1 - x = 0$$
$$6 x + 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$1 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -1 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x1 = 1
3.
$$6 x + 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$6 x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 6

x = -1 / (6)

Obtenemos la respuesta: x2 = -1/6
pero

x no es igual a 2

$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{6}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{6}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{6} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{4}{15}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x^{2} + \left(4 x^{4} - 4 x^{3}\right)}{\left(- 2 x^{2} + 5 x\right) - 2} + \frac{\left(5 x + \left(2 x^{3} - 7 x^{2}\right)\right) + 1}{x - 2} \leq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{4}{15}\right)^{2} + \left(4 \left(- \frac{4}{15}\right)^{4} - 4 \left(- \frac{4}{15}\right)^{3}\right)}{-2 + \left(\frac{\left(-4\right) 5}{15} - 2 \left(- \frac{4}{15}\right)^{2}\right)} + \frac{\left(\frac{\left(-4\right) 5}{15} + \left(- 7 \left(- \frac{4}{15}\right)^{2} + 2 \left(- \frac{4}{15}\right)^{3}\right)\right) + 1}{-2 - \frac{4}{15}} \leq 0$$

 57     
--- <= 0
170     

pero

 57     
--- >= 0
170     

Entonces
$$x \leq - \frac{1}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{1}{6} \wedge x \leq 1$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1