1/(x-2)+1/(3-x)-5>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x}\right) - 5 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x}\right) - 5 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x}\right) - 5 = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-2 + x y 3 - x
obtendremos:
$$\left(x - 2\right) \left(\left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x}\right) - 5\right) = 0$$
$$\frac{- 5 \left(3 - x\right) \left(x - 2\right) + 1}{3 - x} = 0$$
$$\frac{- 5 \left(3 - x\right) \left(x - 2\right) + 1}{3 - x} \left(3 - x\right) = 0 \left(3 - x\right)$$
$$5 x^{2} - 25 x + 31 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 5$$
$$b = -25$$
$$c = 31$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-25)^2 - 4 * (5) * (31) = 5

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right)$$
=
$$\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 - x}\right) - 5 \geq 0$$
$$-5 + \left(\frac{1}{3 - \left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right)} + \frac{1}{-2 + \left(\frac{12}{5} - \frac{\sqrt{5}}{10}\right)}\right) \geq 0$$

         1           1         
-5 + --------- + ---------     
           ___         ___     
     2   \/ 5    3   \/ 5  >= 0
     - - -----   - + -----     
     5     10    5     10      
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{5}}{10}$$
$$x \geq \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{5}{2}$$