|x^2-4x|<5 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| < 5$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| = 5$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} - 4 x \geq 0$$
o
$$\left(4 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq 0 \wedge -\infty < x\right)$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x^{2} - 4 x\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} - 4 x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$

2.
$$x^{2} - 4 x < 0$$
o
$$0 < x \wedge x < 4$$
obtenemos la ecuación
$$\left(- x^{2} + 4 x\right) - 5 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} + 4 x - 5 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 2 - i$$
pero x3 no satisface a la desigualdad
$$x_{4} = 2 + i$$
pero x4 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x^{2} - 4 x}\right| < 5$$
$$\left|{\left(- \frac{11}{10}\right)^{2} - \frac{\left(-11\right) 4}{10}}\right| < 5$$

561    
--- < 5
100    

pero

561    
--- > 5
100    

Entonces
$$x < -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > -1 \wedge x < 5$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2