log3x+logx9>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$9 \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 x \right)} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$9 \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 x \right)} = 2$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3}$$
$$x_{1} = \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$9 \log{\left(x \right)} + \log{\left(3 x \right)} > 2$$
$$9 \log{\left(- \frac{1}{10} + \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3} \right)} + \log{\left(3 \left(- \frac{1}{10} + \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3}\right) \right)} > 2$$

     /        9/10  1/5\                             
     |  1    3    *e   |      /  3     9/10  1/5\    
9*log|- -- + ----------| + log|- -- + 3    *e   | > 2
     \  10       3     /      \  10             /    
    

Entonces
$$x < \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{3^{\frac{9}{10}} e^{\frac{1}{5}}}{3}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1