4x^2+12x+9>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 9 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 9 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = 12$$
$$c = 9$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(12)^2 - 4 * (4) * (9) = 0

Como D = 0 hay sólo una raíz.

x = -b/2a = -12/2/(4)

$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{8}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(4 x^{2} + 12 x\right) + 9 \geq 0$$
$$\left(\frac{\left(-8\right) 12}{5} + 4 \left(- \frac{8}{5}\right)^{2}\right) + 9 \geq 0$$

1/25 >= 0

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq - \frac{3}{2}$$

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       x1