log(x-1/x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(x - \frac{1}{x} \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(x - \frac{1}{x} \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(x - \frac{1}{x} \right)} > 0$$
$$\log{\left(\left(\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) - \frac{1}{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{5}}{2}} \right)} > 0$$

   /                  ___\    
   |2       1       \/ 5 |    
log|- - --------- - -----|    
   |5         ___     2  | > 0
   |    2   \/ 5         |    
   |    - - -----        |    
   \    5     2          /    

Entonces
$$x < \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2