|x-2|+|2x-8|<7 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{2 x - 8}\right| < 7$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{2 x - 8}\right| = 7$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 2 \geq 0$$
$$2 x - 8 \geq 0$$
o
$$4 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 2\right) + \left(2 x - 8\right) - 7 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 17 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{17}{3}$$

2.
$$x - 2 \geq 0$$
$$2 x - 8 < 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < 4$$
obtenemos la ecuación
$$\left(8 - 2 x\right) + \left(x - 2\right) - 7 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -1$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

3.
$$x - 2 < 0$$
$$2 x - 8 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x - 2 < 0$$
$$2 x - 8 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$\left(2 - x\right) + \left(8 - 2 x\right) - 7 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 - 3 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = 1$$


$$x_{1} = \frac{17}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = \frac{17}{3}$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = \frac{17}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x - 2}\right| + \left|{2 x - 8}\right| < 7$$
$$\left|{-2 + \frac{9}{10}}\right| + \left|{-8 + \frac{2 \cdot 9}{10}}\right| < 7$$

73    
-- < 7
10    

pero

73    
-- > 7
10    

Entonces
$$x < 1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 1 \wedge x < \frac{17}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1