Sr Examen
Otras calculadoras
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-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
(x+4)(x-8)>0
-
(x+4)*(x-8)>0
-
(x-1)^2>0
-
(x-1)^2*(x-4)<=0
-
Expresiones idénticas
- cuatro ^x- dos ^x+ siete <= ciento veintinueve
- 4 en el grado x menos 2 en el grado x más 7 menos o igual a 129
- cuatro en el grado x menos dos en el grado x más siete menos o igual a ciento veintinueve
- 4x-2x+7<=129
-
Expresiones semejantes
- 4^x-2^x-7<=129
- 4^x+2^x+7<=129
4^x-2^x+7<=129 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
x x 4 - 2 + 7 <= 129
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 \leq 129$$
-2^x + 4^x + 7 <= 129
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 \leq 129$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 = 129$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 = 129$$
o
$$\left(\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7\right) - 129 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} - v - 122 = 0$$
o
$$v^{2} - v - 122 = 0$$
Es la ecuación de la forma
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -122$$
, entonces
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
o
$$v_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$v_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 \leq 129$$
$$\left(- 2^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}} + 4^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}}\right) + 7 \leq 129$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x \geq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 \leq 129$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 = 129$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 = 129$$
o
$$\left(\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7\right) - 129 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} - v - 122 = 0$$
o
$$v^{2} - v - 122 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*v^2 + b*v + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -122$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (1) * (-122) = 489
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$v_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$v_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 \leq 129$$
$$\left(- 2^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}} + 4^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}}\right) + 7 \leq 129$$
_____ _____
2 \/ 489 2 \/ 489
- - ------- - - ------- <= 129
5 2 5 2
7 + 4 - 2 significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x2 x1Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x \geq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
/ _____\
|1 \/ 489 |
log|- + -------|
\2 2 /
x <= ----------------
log(2)
$$x \leq \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
x <= log(1/2 + sqrt(489)/2)/log(2)
Respuesta rápida 2
[src]
/ _____\
|1 \/ 489 |
log|- + -------|
\2 2 /
(-oo, ----------------]
log(2)
$$x\ in\ \left(-\infty, \frac{\log{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$
x in Interval(-oo, log(1/2 + sqrt(489)/2)/log(2))