4^x-2^x+7<=129 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 \leq 129$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 = 129$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 = 129$$
o
$$\left(\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7\right) - 129 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} - v - 122 = 0$$
o
$$v^{2} - v - 122 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -122$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (-122) = 489

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$v_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 2^{x} + 4^{x}\right) + 7 \leq 129$$
$$\left(- 2^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}} + 4^{\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{489}}{2}}\right) + 7 \leq 129$$

           _____          _____       
     2   \/ 489     2   \/ 489        
     - - -------    - - ------- <= 129
     5      2       5      2          
7 + 4            - 2                  

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{489}}{2}$$
$$x \geq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{489}}{2}$$