(x-2)*(2x-1)/(2x^2+7x+3)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(2 x^{2} + 7 x\right) + 3} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(2 x^{2} + 7 x\right) + 3} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(2 x^{2} + 7 x\right) + 3} = 0$$
denominador
$$2 x^{2} + 7 x + 3$$
entonces

x no es igual a -3

x no es igual a -1/2

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$2 x - 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
2.
$$2 x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = 1 / (2)

Obtenemos la respuesta: x2 = 1/2
pero

x no es igual a -3

x no es igual a -1/2

$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(2 x^{2} + 7 x\right) + 3} > 0$$
$$\frac{\left(-2 + \frac{2}{5}\right) \left(-1 + \frac{2 \cdot 2}{5}\right)}{3 + \left(2 \left(\frac{2}{5}\right)^{2} + \frac{2 \cdot 7}{5}\right)} > 0$$

8/153 > 0

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{1}{2}$$
$$x > 2$$