log5(x-2)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 1$$
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} = 1$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(5)
$$\log{\left(x - 2 \right)} = \log{\left(5 \right)}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$x - 2 = e^{\frac{1}{\frac{1}{\log{\left(5 \right)}}}}$$
simplificamos
$$x - 2 = 5$$
$$x = 7$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{1} = 7$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 7$$
=
$$\frac{69}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < 1$$
$$\frac{\log{\left(-2 + \frac{69}{10} \right)}}{\log{\left(5 \right)}} < 1$$

   /49\    
log|--|    
   \10/ < 1
-------    
 log(5)    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 7$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1