Integral de x^4/(x^5+1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{5} + 1$.

      Luego que $du = 5 x^{4} dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{1}{5 u}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

         1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x^{5} + 1 \right)}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{4}}{x^{5} + 1} = \frac{4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1}{5 \left(x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1\right)} + \frac{1}{5 \left(x + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1}{5 \left(x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1}{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1}\, dx}{5}$

         1. que $u = x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1$.

            Luego que $du = \left(4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{5 \left(x + 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{5}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{5}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{5} + \frac{\log{\left(x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1 \right)}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(x^{5} + 1 \right)}}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x^{5} + 1 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x^{5} + 1 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$