Integral de (3x+2)^15 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x + 2$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{15}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{15}\, du = \frac{\int u^{15}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{16}}{48}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x + 2\right)^{16}}{48}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x + 2\right)^{15} = 14348907 x^{15} + 143489070 x^{14} + 669615660 x^{13} + 1934445240 x^{12} + 3868890480 x^{11} + 5674372704 x^{10} + 6304858560 x^{9} + 5404164480 x^{8} + 3602776320 x^{7} + 1868106240 x^{6} + 747242496 x^{5} + 226437120 x^{4} + 50319360 x^{3} + 7741440 x^{2} + 737280 x + 32768$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 14348907 x^{15}\, dx = 14348907 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{14348907 x^{16}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 143489070 x^{14}\, dx = 143489070 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9565938 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 669615660 x^{13}\, dx = 669615660 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $47829690 x^{14}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1934445240 x^{12}\, dx = 1934445240 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $148803480 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3868890480 x^{11}\, dx = 3868890480 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $322407540 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5674372704 x^{10}\, dx = 5674372704 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $515852064 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6304858560 x^{9}\, dx = 6304858560 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $630485856 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5404164480 x^{8}\, dx = 5404164480 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $600462720 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3602776320 x^{7}\, dx = 3602776320 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $450347040 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1868106240 x^{6}\, dx = 1868106240 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $266872320 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 747242496 x^{5}\, dx = 747242496 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $124540416 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 226437120 x^{4}\, dx = 226437120 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $45287424 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 50319360 x^{3}\, dx = 50319360 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12579840 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7741440 x^{2}\, dx = 7741440 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2580480 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 737280 x\, dx = 737280 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $368640 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 32768\, dx = 32768 x$

      El resultado es: $\frac{14348907 x^{16}}{16} + 9565938 x^{15} + 47829690 x^{14} + 148803480 x^{13} + 322407540 x^{12} + 515852064 x^{11} + 630485856 x^{10} + 600462720 x^{9} + 450347040 x^{8} + 266872320 x^{7} + 124540416 x^{6} + 45287424 x^{5} + 12579840 x^{4} + 2580480 x^{3} + 368640 x^{2} + 32768 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x + 2\right)^{16}}{48}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x + 2\right)^{16}}{48}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x + 2\right)^{16}}{48}+ \mathrm{constant}$