Sr Examen
Integral de (3x+1)/(3x^2-6x+15) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3*x + 1 | --------------- dx | 2 | 3*x - 6*x + 15 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 1}{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 15}\, dx$$
Integral((3*x + 1)/(3*x^2 - 6*x + 15), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3*x + 1 | --------------- dx | 2 | 3*x - 6*x + 15 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 3*2*x - 6 \
|---------------| /4 \
| 2 | |--|
3*x + 1 \3*x - 6*x + 15/ \12/
--------------- = ----------------- + --------------
2 2 2
3*x - 6*x + 15 / x 1\
|- - + -| + 1
\ 2 2/ o
/ | | 3*x + 1 | --------------- dx | 2 = | 3*x - 6*x + 15 | /
/
|
/ | 1
| | -------------- dx
| 3*2*x - 6 | 2
| --------------- dx | / x 1\
| 2 | |- - + -| + 1
| 3*x - 6*x + 15 | \ 2 2/
| |
/ /
--------------------- + --------------------
2 3 En integral
/
|
| 3*2*x - 6
| --------------- dx
| 2
| 3*x - 6*x + 15
|
/
---------------------
2 hacemos el cambio
2 u = -6*x + 3*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ du
| 15 + u
|
/ log(15 + u)
------------ = -----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 3*2*x - 6
| --------------- dx
| 2
| 3*x - 6*x + 15
| / 2 \
/ log\5 + x - 2*x/
--------------------- = -----------------
2 2 En integral
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/
|
/
--------------------
3 hacemos el cambio
1 x
v = - - -
2 2entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
3 3 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - + -| + 1
| \ 2 2/ / 1 x\
| 2*atan|- - + -|
/ \ 2 2/
-------------------- = ---------------
3 3 La solución:
/ 1 x\
/ 2 \ 2*atan|- - + -|
log\5 + x - 2*x/ \ 2 2/
C + ----------------- + ---------------
2 3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / 1 x\ | / 2 \ 2*atan|- - + -| | 3*x + 1 log\5 + x - 2*x/ \ 2 2/ | --------------- dx = C + ----------------- + --------------- | 2 2 3 | 3*x - 6*x + 15 | /
$$\int \frac{3 x + 1}{\left(3 x^{2} - 6 x\right) + 15}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 5 \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
log(4) log(5) 2*atan(1/2) ------ - ------ + ----------- 2 2 3
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}$$
=
=
log(4) log(5) 2*atan(1/2) ------ - ------ + ----------- 2 2 3
$$- \frac{\log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}$$
log(4)/2 - log(5)/2 + 2*atan(1/2)/3
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.