Integral de x((2x-1)^(1/4)) dx

1. que $u = \sqrt[4]{2 x - 1}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(- u^{4} + 4 \left(\frac{u^{4}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} - 1\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \left(\frac{u^{4}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}\, du = 4 \int \left(\frac{u^{4}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{u^{4}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{4}}{2} + \frac{1}{4}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{8}}{4}\, du = \frac{\int u^{8}\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{36}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{4}}{2}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{10}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

            El resultado es: $\frac{u^{9}}{36} + \frac{u^{5}}{10} + \frac{u}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{5}}{5} + u$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, du = - u$

      El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} + \frac{u^{5}}{5}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{9}{4}}}{9} + \frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{5}{4}}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(2 x - 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(5 x + 2\right)}{45}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(2 x - 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(5 x + 2\right)}{45}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(2 x - 1\right)^{\frac{5}{4}} \left(5 x + 2\right)}{45}+ \mathrm{constant}$