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Resolución de integrales/ -3,5+5(2,25-x^2)^(1/2)-4(1-x^2)^(1/2)

Integral de -3,5+5(2,25-x^2)^(1/2)-4(1-x^2)^(1/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                          
  /                                          
 |                                           
 |  /            ________        ________\   
 |  |  7        / 9    2        /      2 |   
 |  |- - + 5*  /  - - x   - 4*\/  1 - x  | dx
 |  \  2     \/   4                      /   
 |                                           
/                                            
0
∫01(−41−x2+(594−x2−72)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(- 4 \sqrt{1 - x^{2}} + \left(5 \sqrt{\frac{9}{4} - x^{2}} - \frac{7}{2}\right)\right)\, dx 
Integral(-7/2 + 5*sqrt(9/4 - x^2) - 4*sqrt(1 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−41−x2) dx=−4∫1−x2 dx\int \left(- 4 \sqrt{1 - x^{2}}\right)\, dx = - 4 \int \sqrt{1 - x^{2}}\, dx

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: −4({x1−x22+asin⁡(x)2for x>−1∧x<1)- 4 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}\right)

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫594−x2 dx=5∫94−x2 dx\int 5 \sqrt{\frac{9}{4} - x^{2}}\, dx = 5 \int \sqrt{\frac{9}{4} - x^{2}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          True\text{True}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫9−4x22 dx=∫9−4x2 dx2\int \frac{\sqrt{9 - 4 x^{2}}}{2}\, dx = \frac{\int \sqrt{9 - 4 x^{2}}\, dx}{2}

            TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=3*sin(_theta)/2, rewritten=9*cos(_theta)**2/2, substep=ConstantTimesRule(constant=9/2, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=9*cos(_theta)**2/2, symbol=_theta), restriction=(x > -3/2) & (x < 3/2), context=sqrt(9 - 4*x**2), symbol=x)

          Por lo tanto, el resultado es: {x9−4x22+9asin⁡(2x3)4for x>−32∧x<322\frac{\begin{cases} \frac{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}}{2} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} & \text{for}\: x > - \frac{3}{2} \wedge x < \frac{3}{2} \end{cases}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 5({x9−4x22+9asin⁡(2x3)4for x>−32∧x<32)2\frac{5 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}}{2} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} & \text{for}\: x > - \frac{3}{2} \wedge x < \frac{3}{2} \end{cases}\right)}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−72) dx=−7x2\int \left(- \frac{7}{2}\right)\, dx = - \frac{7 x}{2}

      El resultado es: −7x2+5({x9−4x22+9asin⁡(2x3)4for x>−32∧x<32)2- \frac{7 x}{2} + \frac{5 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}}{2} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} & \text{for}\: x > - \frac{3}{2} \wedge x < \frac{3}{2} \end{cases}\right)}{2}

    El resultado es: −7x2−4({x1−x22+asin⁡(x)2for x>−1∧x<1)+5({x9−4x22+9asin⁡(2x3)4for x>−32∧x<32)2- \frac{7 x}{2} - 4 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}\right) + \frac{5 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}}{2} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} & \text{for}\: x > - \frac{3}{2} \wedge x < \frac{3}{2} \end{cases}\right)}{2}

  2. Ahora simplificar:

    {−2x1−x2+5x9−4x24−7x2+45asin⁡(2x3)8−2asin⁡(x)for x>−1∧x<1\begin{cases} - 2 x \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{5 x \sqrt{9 - 4 x^{2}}}{4} - \frac{7 x}{2} + \frac{45 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} - 2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {−2x1−x2+5x9−4x24−7x2+45asin⁡(2x3)8−2asin⁡(x)for x>−1∧x<1+constant\begin{cases} - 2 x \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{5 x \sqrt{9 - 4 x^{2}}}{4} - \frac{7 x}{2} + \frac{45 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} - 2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{−2x1−x2+5x9−4x24−7x2+45asin⁡(2x3)8−2asin⁡(x)for x>−1∧x<1+constant\begin{cases} - 2 x \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{5 x \sqrt{9 - 4 x^{2}}}{4} - \frac{7 x}{2} + \frac{45 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{8} - 2 \operatorname{asin}{\left(x \right)} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                                                                                  //      /2*x\        __________                            \
  /                                                                                                               ||9*asin|---|       /        2                             |
 |                                                                                                              5*|<      \ 3 /   x*\/  9 - 4*x                              |
 | /            ________        ________\            //               ________                        \           ||----------- + ---------------  for And(x > -3/2, x < 3/2)|
 | |  7        / 9    2        /      2 |            ||              /      2                         |   7*x     \\     4               2                                   /
 | |- - + 5*  /  - - x   - 4*\/  1 - x  | dx = C - 4*| -1, x < 1)|    2                                  2                               
 |                                                   \\   2            2                              /                                                                       
/
∫(−41−x2+(594−x2−72)) dx=C−7x2−4({x1−x22+asin⁡(x)2for x>−1∧x<1)+5({x9−4x22+9asin⁡(2x3)4for x>−32∧x<32)2\int \left(- 4 \sqrt{1 - x^{2}} + \left(5 \sqrt{\frac{9}{4} - x^{2}} - \frac{7}{2}\right)\right)\, dx = C - \frac{7 x}{2} - 4 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}\right) + \frac{5 \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{9 - 4 x^{2}}}{2} + \frac{9 \operatorname{asin}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{4} & \text{for}\: x > - \frac{3}{2} \wedge x < \frac{3}{2} \end{cases}\right)}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9004
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
               ___               
  7        5*\/ 5    45*asin(2/3)
- - - pi + ------- + ------------
  2           4           8
−72−π+554+45asin⁡(23)8- \frac{7}{2} - \pi + \frac{5 \sqrt{5}}{4} + \frac{45 \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}}{8} 
=
= 
               ___               
  7        5*\/ 5    45*asin(2/3)
- - - pi + ------- + ------------
  2           4           8
−72−π+554+45asin⁡(23)8- \frac{7}{2} - \pi + \frac{5 \sqrt{5}}{4} + \frac{45 \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}}{8} 
-7/2 - pi + 5*sqrt(5)/4 + 45*asin(2/3)/8
Respuesta numérica [src] 
0.25821038456163
0.25821038456163

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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