Integral de (6x-4)^2-5(3x-4) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 5 \left(3 x - 4\right)\right)\, dx = - 5 \int \left(3 x - 4\right)\, dx$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-4\right)\, dx = - 4 x$

         El resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2} - 4 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 x^{2}}{2} + 20 x$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 6 x - 4$.

         Luego que $du = 6 dx$ y ponemos $\frac{du}{6}$:

         $\int \frac{u^{2}}{6}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{6}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{18}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(6 x - 4\right)^{3}}{18}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(6 x - 4\right)^{2} = 36 x^{2} - 48 x + 16$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 36 x^{2}\, dx = 36 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $12 x^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 48 x\right)\, dx = - 48 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 24 x^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 16\, dx = 16 x$

         El resultado es: $12 x^{3} - 24 x^{2} + 16 x$

   El resultado es: $- \frac{15 x^{2}}{2} + 20 x + \frac{\left(6 x - 4\right)^{3}}{18}$

2. Ahora simplificar:

   $12 x^{3} - \frac{63 x^{2}}{2} + 36 x - \frac{32}{9}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $12 x^{3} - \frac{63 x^{2}}{2} + 36 x - \frac{32}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$12 x^{3} - \frac{63 x^{2}}{2} + 36 x - \frac{32}{9}+ \mathrm{constant}$