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Integral de (1-x)/(1+x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1         
  /         
 |          
 |  1 - x   
 |  ----- dx
 |  1 + x   
 |          
/           
0           
011xx+1dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1 - x}{x + 1}\, dx
Integral((1 - x)/(1 + x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = 1 - x.

      Luego que du=dxdu = - dx y ponemos dudu:

      uu2du\int \frac{u}{u - 2}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        uu2=1+2u2\frac{u}{u - 2} = 1 + \frac{2}{u - 2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          1du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          2u2du=21u2du\int \frac{2}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{1}{u - 2}\, du

          1. que u=u2u = u - 2.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log(u2)\log{\left(u - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2log(u2)2 \log{\left(u - 2 \right)}

        El resultado es: u+2log(u2)u + 2 \log{\left(u - 2 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x+2log(x1)+1- x + 2 \log{\left(- x - 1 \right)} + 1

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1xx+1=1+2x+1\frac{1 - x}{x + 1} = -1 + \frac{2}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        (1)dx=x\int \left(-1\right)\, dx = - x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2x+1dx=21x+1dx\int \frac{2}{x + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 1}\, dx

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2log(x+1)2 \log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x+2log(x+1)- x + 2 \log{\left(x + 1 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1xx+1=x1x+1\frac{1 - x}{x + 1} = - \frac{x - 1}{x + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      (x1x+1)dx=x1x+1dx\int \left(- \frac{x - 1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x - 1}{x + 1}\, dx

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        u2udu\int \frac{u - 2}{u}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u2u=12u\frac{u - 2}{u} = 1 - \frac{2}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (2u)du=21udu\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: 2log(u)- 2 \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u2log(u)u - 2 \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log(x+1)+1x - 2 \log{\left(x + 1 \right)} + 1

      Por lo tanto, el resultado es: x+2log(x+1)1- x + 2 \log{\left(x + 1 \right)} - 1

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1xx+1=xx+1+1x+1\frac{1 - x}{x + 1} = - \frac{x}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (xx+1)dx=xx+1dx\int \left(- \frac{x}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{x}{x + 1}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          xx+1=11x+1\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            1dx=x\int 1\, dx = x

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (1x+1)dx=1x+1dx\int \left(- \frac{1}{x + 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx

            1. que u=x+1u = x + 1.

              Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log(x+1)- \log{\left(x + 1 \right)}

          El resultado es: xlog(x+1)x - \log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: x+log(x+1)- x + \log{\left(x + 1 \right)}

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        1udu\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      El resultado es: x+2log(x+1)- x + 2 \log{\left(x + 1 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x+2log(x1)+1+constant- x + 2 \log{\left(- x - 1 \right)} + 1+ \mathrm{constant}


Respuesta:

x+2log(x1)+1+constant- x + 2 \log{\left(- x - 1 \right)} + 1+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                    
 |                                     
 | 1 - x                               
 | ----- dx = 1 + C - x + 2*log(-1 - x)
 | 1 + x                               
 |                                     
/                                      
1xx+1dx=Cx+2log(x1)+1\int \frac{1 - x}{x + 1}\, dx = C - x + 2 \log{\left(- x - 1 \right)} + 1
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Respuesta [src]
-1 + 2*log(2)
1+2log(2)-1 + 2 \log{\left(2 \right)}
=
=
-1 + 2*log(2)
1+2log(2)-1 + 2 \log{\left(2 \right)}
-1 + 2*log(2)
Respuesta numérica [src]
0.386294361119891
0.386294361119891

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.