Integral de x^2*(x^(1/2)+3/x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 u^{6} + 10 u^{5} + 6 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{6}\, du = 2 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 10 u^{5}\, du = 10 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{6}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 u^{3}\, du = 6 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{4}}{2}$

         El resultado es: $\frac{2 u^{7}}{7} + \frac{5 u^{6}}{3} + \frac{3 u^{4}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(\left(\sqrt{x} + \frac{3}{x}\right) + 5\right) = \frac{x^{\frac{7}{2}} + 5 x^{3} + 3 x^{2}}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}} + 3 u + 5}{u^{4}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}} + 3 u + 5}{u^{4}}\, du = - \int \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}} + 3 u + 5}{u^{4}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}} + 3 u + 5}{u^{4}} = \frac{\left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}}{u} + \frac{3}{u^{3}} + \frac{5}{u^{4}}$

         2. Integramos término a término:

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- u^{\frac{5}{2}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{\frac{5}{2}}\, du = - \int u^{\frac{5}{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{\frac{5}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}}{7}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u^{3}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{2 u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{5}{u^{4}}\, du = 5 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5}{3 u^{3}}$

            El resultado es: $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{3}{2 u^{2}} - \frac{5}{3 u^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{3}{2 u^{2}} + \frac{5}{3 u^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(\left(\sqrt{x} + \frac{3}{x}\right) + 5\right) = x^{\frac{5}{2}} + 5 x^{2} + 3 x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{5}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{2}\, dx = 5 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}+ \mathrm{constant}$