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Resolución de integrales/ x^2/3/ x^2/3^√(x^3+7)^2

Integral de x^2/3^√(x^3+7)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |          2         
 |         x          
 |  --------------- dx
 |   /           2\   
 |   |   ________ |   
 |   |  /  3      |   
 |   \\/  x  + 7  /   
 |  3                 
 |                    
/                     
0
∫01x23(x3+7)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}}}\, dx 
Integral(x^2/3^((sqrt(x^3 + 7))^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=13(x3+7)2u = \frac{1}{3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}}}.

      Luego que du=−3⋅3−2x3−14⋅3(x3+7)2x2log⁡(3)dxdu = - 3 \cdot 3^{- 2 x^{3} - 14} \cdot 3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}} x^{2} \log{\left(3 \right)} dx y ponemos −du3log⁡(3)- \frac{du}{3 \log{\left(3 \right)}}:

      ∫(−13log⁡(3)) du\int \left(- \frac{1}{3 \log{\left(3 \right)}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1 du=−∫1 du3log⁡(3)\int 1\, du = - \frac{\int 1\, du}{3 \log{\left(3 \right)}}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        Por lo tanto, el resultado es: −u3log⁡(3)- \frac{u}{3 \log{\left(3 \right)}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −3−x3−73log⁡(3)- \frac{3^{- x^{3} - 7}}{3 \log{\left(3 \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x23(x3+7)2=3−x3x22187\frac{x^{2}}{3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}}} = \frac{3^{- x^{3}} x^{2}}{2187}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3−x3x22187 dx=∫3−x3x2 dx2187\int \frac{3^{- x^{3}} x^{2}}{2187}\, dx = \frac{\int 3^{- x^{3}} x^{2}\, dx}{2187}

      1. que u=−x3u = - x^{3}.

        Luego que du=−3x2dxdu = - 3 x^{2} dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

        ∫(−3u3) du\int \left(- \frac{3^{u}}{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u du=−∫3u du3\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{3}

          1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            ∫3u du=3ulog⁡(3)\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: −3u3log⁡(3)- \frac{3^{u}}{3 \log{\left(3 \right)}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3−x33log⁡(3)- \frac{3^{- x^{3}}}{3 \log{\left(3 \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: −3−x36561log⁡(3)- \frac{3^{- x^{3}}}{6561 \log{\left(3 \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x23(x3+7)2=3−x3x22187\frac{x^{2}}{3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}}} = \frac{3^{- x^{3}} x^{2}}{2187}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3−x3x22187 dx=∫3−x3x2 dx2187\int \frac{3^{- x^{3}} x^{2}}{2187}\, dx = \frac{\int 3^{- x^{3}} x^{2}\, dx}{2187}

      1. que u=−x3u = - x^{3}.

        Luego que du=−3x2dxdu = - 3 x^{2} dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

        ∫(−3u3) du\int \left(- \frac{3^{u}}{3}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3u du=−∫3u du3\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{3}

          1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

            ∫3u du=3ulog⁡(3)\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}

          Por lo tanto, el resultado es: −3u3log⁡(3)- \frac{3^{u}}{3 \log{\left(3 \right)}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −3−x33log⁡(3)- \frac{3^{- x^{3}}}{3 \log{\left(3 \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: −3−x36561log⁡(3)- \frac{3^{- x^{3}}}{6561 \log{\left(3 \right)}}

  2. Ahora simplificar:

    −3−x3−8log⁡(3)- \frac{3^{- x^{3} - 8}}{\log{\left(3 \right)}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −3−x3−8log⁡(3)+constant- \frac{3^{- x^{3} - 8}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−3−x3−8log⁡(3)+constant- \frac{3^{- x^{3} - 8}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 
 |                                 3
 |         2                 -7 - x 
 |        x                 3       
 | --------------- dx = C - --------
 |  /           2\          3*log(3)
 |  |   ________ |                  
 |  |  /  3      |                  
 |  \\/  x  + 7  /                  
 | 3                                
 |                                  
/
∫x23(x3+7)2 dx=−3−x3−73log⁡(3)+C\int \frac{x^{2}}{3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}}}\, dx = - \frac{3^{- x^{3} - 7}}{3 \log{\left(3 \right)}} + C
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.0005-0.0005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
     2      
------------
19683*log(3)
219683log⁡(3)\frac{2}{19683 \log{\left(3 \right)}} 
=
= 
     2      
------------
19683*log(3)
219683log⁡(3)\frac{2}{19683 \log{\left(3 \right)}} 
2/(19683*log(3))
Respuesta numérica [src] 
9.2489887377619e-5
9.2489887377619e-5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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