Integral de x^2/3^√(x^3+7)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}}}$.

      Luego que $du = - 3 \cdot 3^{- 2 x^{3} - 14} \cdot 3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}} x^{2} \log{\left(3 \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3 \log{\left(3 \right)}}$:

      $\int \left(- \frac{1}{3 \log{\left(3 \right)}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1\, du = - \frac{\int 1\, du}{3 \log{\left(3 \right)}}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{3 \log{\left(3 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3^{- x^{3} - 7}}{3 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}}} = \frac{3^{- x^{3}} x^{2}}{2187}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3^{- x^{3}} x^{2}}{2187}\, dx = \frac{\int 3^{- x^{3}} x^{2}\, dx}{2187}$

      1. que $u = - x^{3}$.

         Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{3^{u}}{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{3}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{u}}{3 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3^{- x^{3}}}{3 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{- x^{3}}}{6561 \log{\left(3 \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{3^{\left(\sqrt{x^{3} + 7}\right)^{2}}} = \frac{3^{- x^{3}} x^{2}}{2187}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3^{- x^{3}} x^{2}}{2187}\, dx = \frac{\int 3^{- x^{3}} x^{2}\, dx}{2187}$

      1. que $u = - x^{3}$.

         Luego que $du = - 3 x^{2} dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{3^{u}}{3}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3^{u}\, du = - \frac{\int 3^{u}\, du}{3}$

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 3^{u}\, du = \frac{3^{u}}{\log{\left(3 \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{u}}{3 \log{\left(3 \right)}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{3^{- x^{3}}}{3 \log{\left(3 \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3^{- x^{3}}}{6561 \log{\left(3 \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{3^{- x^{3} - 8}}{\log{\left(3 \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{3^{- x^{3} - 8}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{3^{- x^{3} - 8}}{\log{\left(3 \right)}}+ \mathrm{constant}$