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Resolución de integrales/ (cosx)/ (cosx)^10

Integral de (cosx)^10 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi           
   /            
  |             
  |     10      
  |  cos  (x) dx
  |             
 /              
 0
∫02πcos⁡10(x) dx\int\limits_{0}^{2 \pi} \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)^10, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡10(x)=(cos⁡(2x)2+12)5\cos^{10}{\left(x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{5}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(2x)2+12)5=cos⁡5(2x)32+5cos⁡4(2x)32+5cos⁡3(2x)16+5cos⁡2(2x)16+5cos⁡(2x)32+132\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{1}{32}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡5(2x)32 dx=∫cos⁡5(2x) dx32\int \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{\int \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡5(2x)=(1−sin⁡2(2x))2cos⁡(2x)\cos^{5}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}

        2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

          Método #1

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

            ∫(sin⁡4(u)cos⁡(u)2−sin⁡2(u)cos⁡(u)+cos⁡(u)2) du\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du

            1. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡4(u)cos⁡(u)2 du=∫sin⁡4(u)cos⁡(u) du2\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

                  Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

                  ∫u4 du\int u^{4}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡5(u)5\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡5(u)10\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫(−sin⁡2(u)cos⁡(u)) du=−∫sin⁡2(u)cos⁡(u) du\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

                1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

                  Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

                  ∫u2 du\int u^{2}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡3(u)3\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

                Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)3- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u)2 du=∫cos⁡(u) du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              El resultado es: sin⁡5(u)10−sin⁡3(u)3+sin⁡(u)2\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Método #2

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(2x))2cos⁡(2x)=sin⁡4(2x)cos⁡(2x)−2sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

              Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫u42 du\int \frac{u^{4}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u4 du=∫u4 du2\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                Por lo tanto, el resultado es: u510\frac{u^{5}}{10}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡5(2x)10\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−2∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)3- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            El resultado es: sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Método #3

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            (1−sin⁡2(2x))2cos⁡(2x)=sin⁡4(2x)cos⁡(2x)−2sin⁡2(2x)cos⁡(2x)+cos⁡(2x)\left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)} = \sin^{4}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}

          2. Integramos término a término:

            1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

              Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫u42 du\int \frac{u^{4}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u4 du=∫u4 du2\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{2}

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                Por lo tanto, el resultado es: u510\frac{u^{5}}{10}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡5(2x)10\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2sin⁡2(2x)cos⁡(2x)) dx=−2∫sin⁡2(2x)cos⁡(2x) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\, dx

              1. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

                Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫u22 du\int \frac{u^{2}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u2 du=∫u2 du2\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                  Por lo tanto, el resultado es: u36\frac{u^{3}}{6}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(2x)6\frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(2x)3- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            El resultado es: sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡5(2x)320−sin⁡3(2x)96+sin⁡(2x)64\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡4(2x)32 dx=5∫cos⁡4(2x) dx32\int \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡4(2x)=(cos⁡(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(4x)2+12)2=cos⁡2(4x)4+cos⁡(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=8xu = 8 x.

                  Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                  ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: 15x256+5sin⁡(4x)256+5sin⁡(8x)2048\frac{15 x}{256} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡3(2x)16 dx=5∫cos⁡3(2x) dx16\int \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

        2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

            El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡3(2x)96+5sin⁡(2x)32- \frac{5 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡2(2x)16 dx=5∫cos⁡2(2x) dx16\int \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x32+5sin⁡(4x)128\frac{5 x}{32} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡(2x)32 dx=5∫cos⁡(2x) dx32\int \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{32}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(2x)64\frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{64}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫132 dx=x32\int \frac{1}{32}\, dx = \frac{x}{32}

      El resultado es: 63x256+sin⁡5(2x)320−sin⁡3(2x)16+sin⁡(2x)4+15sin⁡(4x)256+5sin⁡(8x)2048\frac{63 x}{256} + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(2x)2+12)5=cos⁡5(2x)32+5cos⁡4(2x)32+5cos⁡3(2x)16+5cos⁡2(2x)16+5cos⁡(2x)32+132\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32} + \frac{1}{32}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡5(2x)32 dx=∫cos⁡5(2x) dx32\int \frac{\cos^{5}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{\int \cos^{5}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡5(2x)=(1−sin⁡2(2x))2cos⁡(2x)\cos^{5}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right)^{2} \cos{\left(2 x \right)}

        2. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos dudu:

          ∫(sin⁡4(u)cos⁡(u)2−sin⁡2(u)cos⁡(u)+cos⁡(u)2) du\int \left(\frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2} - \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡4(u)cos⁡(u)2 du=∫sin⁡4(u)cos⁡(u) du2\int \frac{\sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

                Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

                ∫u4 du\int u^{4}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡5(u)5\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡5(u)10\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡2(u)cos⁡(u)) du=−∫sin⁡2(u)cos⁡(u) du\int \left(- \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

              1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

                Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

                ∫u2 du\int u^{2}\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

                Si ahora sustituir uu más en:

                sin⁡3(u)3\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡3(u)3- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u)2 du=∫cos⁡(u) du2\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            El resultado es: sin⁡5(u)10−sin⁡3(u)3+sin⁡(u)2\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡5(2x)10−sin⁡3(2x)3+sin⁡(2x)2\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{10} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡5(2x)320−sin⁡3(2x)96+sin⁡(2x)64\frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡4(2x)32 dx=5∫cos⁡4(2x) dx32\int \frac{5 \cos^{4}{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos^{4}{\left(2 x \right)}\, dx}{32}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡4(2x)=(cos⁡(4x)2+12)2\cos^{4}{\left(2 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          (cos⁡(4x)2+12)2=cos⁡2(4x)4+cos⁡(4x)2+14\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

        3. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡2(4x)4 dx=∫cos⁡2(4x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(4 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(4 x \right)}\, dx}{4}

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              cos⁡2(4x)=cos⁡(8x)2+12\cos^{2}{\left(4 x \right)} = \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

            2. Integramos término a término:

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(8x)2 dx=∫cos⁡(8x) dx2\int \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(8 x \right)}\, dx}{2}

                1. que u=8xu = 8 x.

                  Luego que du=8dxdu = 8 dx y ponemos du8\frac{du}{8}:

                  ∫cos⁡(u)8 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{8}\, du

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du8\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{8}

                    1. La integral del coseno es seno:

                      ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                    Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)8\frac{\sin{\left(u \right)}}{8}

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  sin⁡(8x)8\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{8}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(8x)16\frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

              El resultado es: x2+sin⁡(8x)16\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{16}

            Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(8x)64\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

          El resultado es: 3x8+sin⁡(4x)8+sin⁡(8x)64\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{64}

        Por lo tanto, el resultado es: 15x256+5sin⁡(4x)256+5sin⁡(8x)2048\frac{15 x}{256} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡3(2x)16 dx=5∫cos⁡3(2x) dx16\int \frac{5 \cos^{3}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{3}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡3(2x)=(1−sin⁡2(2x))cos⁡(2x)\cos^{3}{\left(2 x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 x \right)}\right) \cos{\left(2 x \right)}

        2. que u=sin⁡(2x)u = \sin{\left(2 x \right)}.

          Luego que du=2cos⁡(2x)dxdu = 2 \cos{\left(2 x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫(12−u22) du\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u22) du=−∫u2 du2\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u36- \frac{u^{3}}{6}

            El resultado es: −u36+u2- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −sin⁡3(2x)6+sin⁡(2x)2- \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −5sin⁡3(2x)96+5sin⁡(2x)32- \frac{5 \sin^{3}{\left(2 x \right)}}{96} + \frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡2(2x)16 dx=5∫cos⁡2(2x) dx16\int \frac{5 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{16}\, dx = \frac{5 \int \cos^{2}{\left(2 x \right)}\, dx}{16}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(2x)=cos⁡(4x)2+12\cos^{2}{\left(2 x \right)} = \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(4x)2 dx=∫cos⁡(4x) dx2\int \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(4 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=4xu = 4 x.

              Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

              ∫cos⁡(u)4 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du4\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)4\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(4x)4\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(4x)8\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(4x)8\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: 5x32+5sin⁡(4x)128\frac{5 x}{32} + \frac{5 \sin{\left(4 x \right)}}{128}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5cos⁡(2x)32 dx=5∫cos⁡(2x) dx32\int \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{32}\, dx = \frac{5 \int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{32}

        1. que u=2xu = 2 x.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 5sin⁡(2x)64\frac{5 \sin{\left(2 x \right)}}{64}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫132 dx=x32\int \frac{1}{32}\, dx = \frac{x}{32}

      El resultado es: 63x256+sin⁡5(2x)320−sin⁡3(2x)16+sin⁡(2x)4+15sin⁡(4x)256+5sin⁡(8x)2048\frac{63 x}{256} + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}

  3. Añadimos la constante de integración:

    63x256+sin⁡5(2x)320−sin⁡3(2x)16+sin⁡(2x)4+15sin⁡(4x)256+5sin⁡(8x)2048+constant\frac{63 x}{256} + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

63x256+sin⁡5(2x)320−sin⁡3(2x)16+sin⁡(2x)4+15sin⁡(4x)256+5sin⁡(8x)2048+constant\frac{63 x}{256} + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                    
 |                      3                      5                                       
 |    10             sin (2*x)   sin(2*x)   sin (2*x)   5*sin(8*x)   15*sin(4*x)   63*x
 | cos  (x) dx = C - --------- + -------- + --------- + ---------- + ----------- + ----
 |                       16         4          320         2048          256       256 
/
∫cos⁡10(x) dx=C+63x256+sin⁡5(2x)320−sin⁡3(2x)16+sin⁡(2x)4+15sin⁡(4x)256+5sin⁡(8x)2048\int \cos^{10}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{63 x}{256} + \frac{\sin^{5}{\left(2 x \right)}}{320} - \frac{\sin^{3}{\left(2 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{256} + \frac{5 \sin{\left(8 x \right)}}{2048}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
63*pi
-----
 128
63π128\frac{63 \pi}{128} 
=
= 
63*pi
-----
 128
63π128\frac{63 \pi}{128} 
63*pi/128
Respuesta numérica [src] 
1.54625263418873
1.54625263418873

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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