Integral de ycoslny/x dy

Solución

Ha introducido [src]

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  /                 
 |                  
 |  y*cos(log(y))   
 |  ------------- dy
 |        x         
 |                  
/                   
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{y \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{x}\, dy$$

Integral((y*cos(log(y)))/x, (y, 0, 1))

Solución detallada

La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int \frac{y \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{x}\, dy = \frac{\int y \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}\, dy}{x}$
1. que $u = \log{\left(y \right)}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dy}{y}$ y ponemos $du$ :
  
  $\int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du$
  1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.
    1. Para el integrando $e^{2 u} \cos{\left(u \right)}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{2} - \int \left(- \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{2}\right)\, du$ .
    2. Para el integrando $- \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{2}$ :
      
      que $u{\left(u \right)} = - \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Entonces $\int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{4} + \frac{e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{2} + \int \left(- \frac{e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{4}\right)\, du$ .
    3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:
      
      $\frac{5 \int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du}{4} = \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{4} + \frac{e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto,
      
      $\int e^{2 u} \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{e^{2 u} \sin{\left(u \right)}}{5} + \frac{2 e^{2 u} \cos{\left(u \right)}}{5}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{y^{2} \sin{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{5} + \frac{2 y^{2} \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{5}$
Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{y^{2} \sin{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{5} + \frac{2 y^{2} \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{5}}{x}$
Ahora simplificar:

$\frac{y^{2} \left(\sin{\left(\log{\left(y \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}\right)}{5 x}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{y^{2} \left(\sin{\left(\log{\left(y \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}\right)}{5 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y^{2} \left(\sin{\left(\log{\left(y \right)} \right)} + 2 \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}\right)}{5 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                           2                  2            
  /                       y *sin(log(y))   2*y *cos(log(y))
 |                        -------------- + ----------------
 | y*cos(log(y))                5                 5        
 | ------------- dy = C + ---------------------------------
 |       x                                x                
 |                                                         
/

$$\int \frac{y \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{x}\, dy = C + \frac{\frac{y^{2} \sin{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{5} + \frac{2 y^{2} \cos{\left(\log{\left(y \right)} \right)}}{5}}{x}$$

Simplificar

Respuesta [src]

 2 
---
5*x

$$\frac{2}{5 x}$$

 2 
---
5*x

$$\frac{2}{5 x}$$

2/(5*x)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de ycoslny/x dy

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución