Integral de Sinx(4cosx-6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(6 - 4 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 6\, du = 6 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 4 u\right)\, du = - 4 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{2}$

         El resultado es: $- 2 u^{2} + 6 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 \cos{\left(x \right)} - 6\right) \sin{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 \cos{\left(x \right)} - 6\right) \sin{\left(x \right)} = 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \cos{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- u\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u\, du = - \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(x \right)}$

      El resultado es: $- 2 \cos^{2}{\left(x \right)} + 6 \cos{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \left(3 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \left(3 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \left(3 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$