Integral de (4*x^5-1)^2/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(4 x^{5} - 1\right)^{2}}{x^{2}} = 16 x^{8} - 8 x^{3} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 x^{8}\, dx = 16 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $\frac{16 x^{9}}{9} - 2 x^{4} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(4 x^{5} - 1\right)^{2}}{x^{2}} = \frac{16 x^{10} - 8 x^{5} + 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{16 x^{10} - 8 x^{5} + 1}{x^{2}} = 16 x^{8} - 8 x^{3} + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16 x^{8}\, dx = 16 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 x^{9}}{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 8 x^{3}\right)\, dx = - 8 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $\frac{16 x^{9}}{9} - 2 x^{4} - \frac{1}{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{16 x^{10} - 18 x^{5} - 9}{9 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{16 x^{10} - 18 x^{5} - 9}{9 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{16 x^{10} - 18 x^{5} - 9}{9 x}+ \mathrm{constant}$