Integral de x(0,3exp(-0,5x)+5,776xexp(-3,8x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\frac{722 x}{125} e^{- \frac{19 x}{5}} + \frac{3 e^{- \frac{x}{2}}}{10}\right) = \frac{\left(1444 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 75 x e^{\frac{19 x}{5}}\right) e^{- \frac{43 x}{10}}}{250}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\left(1444 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 75 x e^{\frac{19 x}{5}}\right) e^{- \frac{43 x}{10}}}{250}\, dx = \frac{\int \left(1444 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 75 x e^{\frac{19 x}{5}}\right) e^{- \frac{43 x}{10}}\, dx}{250}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(1444 x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 75 x e^{\frac{19 x}{5}}\right) e^{- \frac{43 x}{10}} = 1444 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}} + 75 x e^{- \frac{x}{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1444 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}}\, dx = 1444 \int x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{19 x}{5}}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. que $u = - \frac{19 x}{5}$.

                  Luego que $du = - \frac{19 dx}{5}$ y ponemos $- \frac{5 du}{19}$:

                  $\int \left(- \frac{5 e^{u}}{19}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 e^{u}}{19}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{5 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = - \frac{10 x}{19}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{19 x}{5}}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{10}{19}$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. que $u = - \frac{19 x}{5}$.

                  Luego que $du = - \frac{19 dx}{5}$ y ponemos $- \frac{5 du}{19}$:

                  $\int \left(- \frac{5 e^{u}}{19}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 e^{u}}{19}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{5 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{50 e^{- \frac{19 x}{5}}}{361}\, dx = \frac{50 \int e^{- \frac{19 x}{5}}\, dx}{361}$

               1. que $u = - \frac{19 x}{5}$.

                  Luego que $du = - \frac{19 dx}{5}$ y ponemos $- \frac{5 du}{19}$:

                  $\int \left(- \frac{5 e^{u}}{19}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 e^{u}}{19}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{5 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{250 e^{- \frac{19 x}{5}}}{6859}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 380 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}} - 200 x e^{- \frac{19 x}{5}} - \frac{1000 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 75 x e^{- \frac{x}{2}}\, dx = 75 \int x e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(x \right)}$:

               1. que $u = - \frac{x}{2}$.

                  Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

                  $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)\, dx = - 2 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

               1. que $u = - \frac{x}{2}$.

                  Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

                  $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\text{False}$

                     1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                        $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{- \frac{x}{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 150 x e^{- \frac{x}{2}} - 300 e^{- \frac{x}{2}}$

         El resultado es: $- 380 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}} - 150 x e^{- \frac{x}{2}} - 200 x e^{- \frac{19 x}{5}} - 300 e^{- \frac{x}{2}} - \frac{1000 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{38 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}}}{25} - \frac{3 x e^{- \frac{x}{2}}}{5} - \frac{4 x e^{- \frac{19 x}{5}}}{5} - \frac{6 e^{- \frac{x}{2}}}{5} - \frac{4 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\frac{722 x}{125} e^{- \frac{19 x}{5}} + \frac{3 e^{- \frac{x}{2}}}{10}\right) = \frac{722 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}}}{125} + \frac{3 x e^{- \frac{x}{2}}}{10}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{722 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}}}{125}\, dx = \frac{722 \int x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}}\, dx}{125}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{19 x}{5}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - \frac{19 x}{5}$.

               Luego que $du = - \frac{19 dx}{5}$ y ponemos $- \frac{5 du}{19}$:

               $\int \left(- \frac{5 e^{u}}{19}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 e^{u}}{19}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{5 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = - \frac{10 x}{19}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{19 x}{5}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{10}{19}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - \frac{19 x}{5}$.

               Luego que $du = - \frac{19 dx}{5}$ y ponemos $- \frac{5 du}{19}$:

               $\int \left(- \frac{5 e^{u}}{19}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 e^{u}}{19}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{5 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{50 e^{- \frac{19 x}{5}}}{361}\, dx = \frac{50 \int e^{- \frac{19 x}{5}}\, dx}{361}$

            1. que $u = - \frac{19 x}{5}$.

               Luego que $du = - \frac{19 dx}{5}$ y ponemos $- \frac{5 du}{19}$:

               $\int \left(- \frac{5 e^{u}}{19}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 e^{u}}{19}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{5 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{250 e^{- \frac{19 x}{5}}}{6859}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{38 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}}}{25} - \frac{4 x e^{- \frac{19 x}{5}}}{5} - \frac{4 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x e^{- \frac{x}{2}}}{10}\, dx = \frac{3 \int x e^{- \frac{x}{2}}\, dx}{10}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- \frac{x}{2}}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. que $u = - \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

               $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 e^{- \frac{x}{2}}\right)\, dx = - 2 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx$

            1. que $u = - \frac{x}{2}$.

               Luego que $du = - \frac{dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

               $\int \left(- 2 e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4 e^{- \frac{x}{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x e^{- \frac{x}{2}}}{5} - \frac{6 e^{- \frac{x}{2}}}{5}$

      El resultado es: $- \frac{38 x^{2} e^{- \frac{19 x}{5}}}{25} - \frac{3 x e^{- \frac{x}{2}}}{5} - \frac{4 x e^{- \frac{19 x}{5}}}{5} - \frac{6 e^{- \frac{x}{2}}}{5} - \frac{4 e^{- \frac{19 x}{5}}}{19}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(285 \left(x + 2\right) e^{\frac{19 x}{5}} + 2 \left(361 x^{2} + 190 x + 50\right) e^{\frac{x}{2}}\right) e^{- \frac{43 x}{10}}}{475}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(285 \left(x + 2\right) e^{\frac{19 x}{5}} + 2 \left(361 x^{2} + 190 x + 50\right) e^{\frac{x}{2}}\right) e^{- \frac{43 x}{10}}}{475}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(285 \left(x + 2\right) e^{\frac{19 x}{5}} + 2 \left(361 x^{2} + 190 x + 50\right) e^{\frac{x}{2}}\right) e^{- \frac{43 x}{10}}}{475}+ \mathrm{constant}$