Integral de 1/((sqrtx^1/3)+x) dx

1. que $u = \sqrt{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u}{\sqrt[3]{u} + u^{2}}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u}{\sqrt[3]{u} + u^{2}}\, du = 2 \int \frac{u}{\sqrt[3]{u} + u^{2}}\, du$

      1. que $u = \sqrt[3]{u}$.

         Luego que $du = \frac{du}{3 u^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

         $\int \frac{3 u^{4}}{u^{5} + 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{4}}{u^{5} + 1}\, du = 3 \int \frac{u^{4}}{u^{5} + 1}\, du$

            1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

               Método #1

               1. que $u = u^{5} + 1$.

                  Luego que $du = 5 u^{4} du$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

                  $\int \frac{1}{5 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(u^{5} + 1 \right)}}{5}$

               Método #2

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{4}}{u^{5} + 1} = \frac{4 u^{3} - 3 u^{2} + 2 u - 1}{5 \left(u^{4} - u^{3} + u^{2} - u + 1\right)} + \frac{1}{5 \left(u + 1\right)}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{4 u^{3} - 3 u^{2} + 2 u - 1}{5 \left(u^{4} - u^{3} + u^{2} - u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{4 u^{3} - 3 u^{2} + 2 u - 1}{u^{4} - u^{3} + u^{2} - u + 1}\, du}{5}$

                     1. que $u = u^{4} - u^{3} + u^{2} - u + 1$.

                        Luego que $du = \left(4 u^{3} - 3 u^{2} + 2 u - 1\right) du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u^{4} - u^{3} + u^{2} - u + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u^{4} - u^{3} + u^{2} - u + 1 \right)}}{5}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{5 \left(u + 1\right)}\, du = \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{5}$

                     1. que $u = u + 1$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u + 1 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{5}$

                  El resultado es: $\frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{5} + \frac{\log{\left(u^{4} - u^{3} + u^{2} - u + 1 \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(u^{5} + 1 \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 \log{\left(u^{\frac{5}{3}} + 1 \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \log{\left(u^{\frac{5}{3}} + 1 \right)}}{5}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{6 \log{\left(x^{\frac{5}{6}} + 1 \right)}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{6 \log{\left(x^{\frac{5}{6}} + 1 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{6 \log{\left(x^{\frac{5}{6}} + 1 \right)}}{5}+ \mathrm{constant}$