Integral de (3*x^4+1)^2*x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x^{4} + 1$.

      Luego que $du = 12 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{12}$:

      $\int \frac{u^{2}}{12}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{12}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{36}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x^{4} + 1\right)^{3}}{36}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(3 x^{4} + 1\right)^{2} = 9 x^{11} + 6 x^{7} + x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 x^{11}\, dx = 9 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{12}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x^{7}\, dx = 6 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{8}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{3 x^{12}}{4} + \frac{3 x^{8}}{4} + \frac{x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x^{4} + 1\right)^{3}}{36}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x^{4} + 1\right)^{3}}{36}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x^{4} + 1\right)^{3}}{36}+ \mathrm{constant}$