Sr Examen

Otras calculadoras

Integral de x/(x^2+4*x+7) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 oo                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 4*x + 7   
 |                 
/                  
-1                 
$$\int\limits_{-1}^{\infty} \frac{x}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 7}\, dx$$
Integral(x/(x^2 + 4*x + 7), (x, -1, oo))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      x         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 4*x + 7   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x + 4   \                             
               |------------|             /-2 \           
               | 2          |             |---|           
     x         \x  + 4*x + 7/             \ 3 /           
------------ = -------------- + --------------------------
 2                   2                               2    
x  + 4*x + 7                    /   ___          ___\     
                                |-\/ 3       2*\/ 3 |     
                                |-------*x - -------|  + 1
                                \   3           3   /     
o
  /                 
 |                  
 |      x           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 4*x + 7     
 |                  
/                   
  
                         /                             
                        |                              
                        |             1                
  /                  2* | -------------------------- dx
 |                      |                      2       
 |   2*x + 4            | /   ___          ___\        
 | ------------ dx      | |-\/ 3       2*\/ 3 |        
 |  2                   | |-------*x - -------|  + 1   
 | x  + 4*x + 7         | \   3           3   /        
 |                      |                              
/                      /                               
------------------ - ----------------------------------
        2                            3                 
En integral
  /               
 |                
 |   2*x + 4      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 4*x + 7   
 |                
/                 
------------------
        2         
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 4*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 7 + u                
 |                      
/             log(7 + u)
----------- = ----------
     2            2     
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x + 4                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  + 4*x + 7                       
 |                      /     2      \
/                    log\7 + x  + 4*x/
------------------ = -----------------
        2                    2        
En integral
     /                             
    |                              
    |             1                
-2* | -------------------------- dx
    |                      2       
    | /   ___          ___\        
    | |-\/ 3       2*\/ 3 |        
    | |-------*x - -------|  + 1   
    | \   3           3   /        
    |                              
   /                               
-----------------------------------
                 3                 
hacemos el cambio
          ___       ___
      2*\/ 3    x*\/ 3 
v = - ------- - -------
         3         3   
entonces
integral =
     /                      
    |                       
    |   1                   
-2* | ------ dv             
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /              -2*atan(v)
--------------- = ----------
       3              3     
hacemos cambio inverso
     /                                                                
    |                                                                 
    |             1                                                   
-2* | -------------------------- dx                                   
    |                      2                                          
    | /   ___          ___\                                           
    | |-\/ 3       2*\/ 3 |                                           
    | |-------*x - -------|  + 1                   /    ___       ___\
    | \   3           3   /                ___     |2*\/ 3    x*\/ 3 |
    |                                 -2*\/ 3 *atan|------- + -------|
   /                                               \   3         3   /
----------------------------------- = --------------------------------
                 3                                   3                
La solución:
                                    /    ___       ___\
                            ___     |2*\/ 3    x*\/ 3 |
       /     2      \   2*\/ 3 *atan|------- + -------|
    log\7 + x  + 4*x/               \   3         3   /
C + ----------------- - -------------------------------
            2                          3               
Respuesta (Indefinida) [src]
                                                         /  ___        \
  /                                              ___     |\/ 3 *(2 + x)|
 |                          /     2      \   2*\/ 3 *atan|-------------|
 |      x                log\7 + x  + 4*x/               \      3      /
 | ------------ dx = C + ----------------- - ---------------------------
 |  2                            2                        3             
 | x  + 4*x + 7                                                         
 |                                                                      
/                                                                       
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 7}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 x + 7 \right)}}{2} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(x + 2\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta [src]
oo
$$\infty$$
=
=
oo
$$\infty$$
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.