Sr Examen

Otras calculadoras

Integral de (x-4)/(x^2-3x+4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |     x - 4       
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 3*x + 4   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x - 4}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 4}\, dx$$
Integral((x - 4)/(x^2 - 3*x + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |    x - 4       
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 3*x + 4   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x - 3   \                              
               |------------|             / -5  \          
               | 2          |             |-----|          
   x - 4       \x  - 3*x + 4/             \2*7/4/          
------------ = -------------- + ---------------------------
 2                   2                                2    
x  - 3*x + 4                    /     ___         ___\     
                                |-2*\/ 7      3*\/ 7 |     
                                |--------*x + -------|  + 1
                                \   7            7   /     
o
  /                 
 |                  
 |    x - 4         
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  - 3*x + 4     
 |                  
/                   
  
                          /                              
                         |                               
                         |              1                
  /                  10* | --------------------------- dx
 |                       |                       2       
 |   2*x - 3             | /     ___         ___\        
 | ------------ dx       | |-2*\/ 7      3*\/ 7 |        
 |  2                    | |--------*x + -------|  + 1   
 | x  - 3*x + 4          | \   7            7   /        
 |                       |                               
/                       /                                
------------------ - ------------------------------------
        2                             7                  
En integral
  /               
 |                
 |   2*x - 3      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 3*x + 4   
 |                
/                 
------------------
        2         
hacemos el cambio
     2      
u = x  - 3*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 4 + u                
 |                      
/             log(4 + u)
----------- = ----------
     2            2     
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x - 3                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  - 3*x + 4                       
 |                      /     2      \
/                    log\4 + x  - 3*x/
------------------ = -----------------
        2                    2        
En integral
      /                              
     |                               
     |              1                
-10* | --------------------------- dx
     |                       2       
     | /     ___         ___\        
     | |-2*\/ 7      3*\/ 7 |        
     | |--------*x + -------|  + 1   
     | \   7            7   /        
     |                               
    /                                
-------------------------------------
                  7                  
hacemos el cambio
        ___         ___
    3*\/ 7    2*x*\/ 7 
v = ------- - ---------
       7          7    
entonces
integral =
      /                       
     |                        
     |   1                    
-10* | ------ dv              
     |      2                 
     | 1 + v                  
     |                        
    /              -10*atan(v)
---------------- = -----------
       7                7     
hacemos cambio inverso
      /                                                                     
     |                                                                      
     |              1                                                       
-10* | --------------------------- dx                                       
     |                       2                                              
     | /     ___         ___\                                               
     | |-2*\/ 7      3*\/ 7 |                                               
     | |--------*x + -------|  + 1                   /      ___         ___\
     | \   7            7   /                ___     |  3*\/ 7    2*x*\/ 7 |
     |                                  -5*\/ 7 *atan|- ------- + ---------|
    /                                                \     7          7    /
------------------------------------- = ------------------------------------
                  7                                      7                  
La solución:
                                    /      ___         ___\
                            ___     |  3*\/ 7    2*x*\/ 7 |
       /     2      \   5*\/ 7 *atan|- ------- + ---------|
    log\4 + x  - 3*x/               \     7          7    /
C + ----------------- - -----------------------------------
            2                            7                 
Respuesta (Indefinida) [src]
                                                         /    ___           \
  /                                              ___     |2*\/ 7 *(-3/2 + x)|
 |                          /     2      \   5*\/ 7 *atan|------------------|
 |    x - 4              log\4 + x  - 3*x/               \        7         /
 | ------------ dx = C + ----------------- - --------------------------------
 |  2                            2                          7                
 | x  - 3*x + 4                                                              
 |                                                                           
/                                                                            
$$\int \frac{x - 4}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 4}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - 3 x + 4 \right)}}{2} - \frac{5 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} \left(x - \frac{3}{2}\right)}{7} \right)}}{7}$$
Gráfica
Respuesta [src]
                              /    ___\               /  ___\
                      ___     |3*\/ 7 |       ___     |\/ 7 |
                  5*\/ 7 *atan|-------|   5*\/ 7 *atan|-----|
log(2)   log(4)               \   7   /               \  7  /
------ - ------ - --------------------- + -------------------
  2        2                7                      7         
$$- \frac{5 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{5 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}}{7}$$
=
=
                              /    ___\               /  ___\
                      ___     |3*\/ 7 |       ___     |\/ 7 |
                  5*\/ 7 *atan|-------|   5*\/ 7 *atan|-----|
log(2)   log(4)               \   7   /               \  7  /
------ - ------ - --------------------- + -------------------
  2        2                7                      7         
$$- \frac{5 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{5 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{7} \right)}}{7}$$
log(2)/2 - log(4)/2 - 5*sqrt(7)*atan(3*sqrt(7)/7)/7 + 5*sqrt(7)*atan(sqrt(7)/7)/7
Respuesta numérica [src]
-1.2663406013354
-1.2663406013354

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.