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Resolución de integrales/ x^2+5/ x^3/(x^2+5)

Integral de x^3/(x^2+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |     3     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  + 5   
 |           
/            
0
∫01x3x2+5 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}\, dx 
Integral(x^3/(x^2 + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫u2u+10 du\int \frac{u}{2 u + 10}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u2u+10=12−52(u+5)\frac{u}{2 u + 10} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2 \left(u + 5\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−52(u+5)) du=−5∫1u+5 du2\int \left(- \frac{5}{2 \left(u + 5\right)}\right)\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u + 5}\, du}{2}

          1. que u=u+5u = u + 5.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(u+5)\log{\left(u + 5 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(u+5)2- \frac{5 \log{\left(u + 5 \right)}}{2}

        El resultado es: u2−5log⁡(u+5)2\frac{u}{2} - \frac{5 \log{\left(u + 5 \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x22−5log⁡(x2+5)2\frac{x^{2}}{2} - \frac{5 \log{\left(x^{2} + 5 \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3x2+5=x−5xx2+5\frac{x^{3}}{x^{2} + 5} = x - \frac{5 x}{x^{2} + 5}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−5xx2+5) dx=−5∫xx2+5 dx\int \left(- \frac{5 x}{x^{2} + 5}\right)\, dx = - 5 \int \frac{x}{x^{2} + 5}\, dx

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫xx2+5 dx=∫2xx2+5 dx2\int \frac{x}{x^{2} + 5}\, dx = \frac{\int \frac{2 x}{x^{2} + 5}\, dx}{2}

          1. que u=x2+5u = x^{2} + 5.

            Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(x2+5)\log{\left(x^{2} + 5 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x2+5)2\frac{\log{\left(x^{2} + 5 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(x2+5)2- \frac{5 \log{\left(x^{2} + 5 \right)}}{2}

      El resultado es: x22−5log⁡(x2+5)2\frac{x^{2}}{2} - \frac{5 \log{\left(x^{2} + 5 \right)}}{2}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22−5log⁡(x2+5)2+constant\frac{x^{2}}{2} - \frac{5 \log{\left(x^{2} + 5 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x22−5log⁡(x2+5)2+constant\frac{x^{2}}{2} - \frac{5 \log{\left(x^{2} + 5 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  
 |                                   
 |    3             2        /     2\
 |   x             x    5*log\5 + x /
 | ------ dx = C + -- - -------------
 |  2              2          2      
 | x  + 5                            
 |                                   
/
∫x3x2+5 dx=C+x22−5log⁡(x2+5)2\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 5}\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} - \frac{5 \log{\left(x^{2} + 5 \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1   5*log(6)   5*log(5)
- - -------- + --------
2      2          2
−5log⁡(6)2+12+5log⁡(5)2- \frac{5 \log{\left(6 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{5 \log{\left(5 \right)}}{2} 
=
= 
1   5*log(6)   5*log(5)
- - -------- + --------
2      2          2
−5log⁡(6)2+12+5log⁡(5)2- \frac{5 \log{\left(6 \right)}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{5 \log{\left(5 \right)}}{2} 
1/2 - 5*log(6)/2 + 5*log(5)/2
Respuesta numérica [src] 
0.0441961080151134
0.0441961080151134

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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