Integral de (2x+5)^27 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 5$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{27}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{27}\, du = \frac{\int u^{27}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{27}\, du = \frac{u^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{28}}{56}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 5\right)^{28}}{56}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 5\right)^{27} = 134217728 x^{27} + 9059696640 x^{26} + 294440140800 x^{25} + 6134169600000 x^{24} + 92012544000000 x^{23} + 1058144256000000 x^{22} + 9699655680000000 x^{21} + 72747417600000000 x^{20} + 454671360000000000 x^{19} + 2399654400000000000 x^{18} + 10798444800000000000 x^{17} + 41721264000000000000 x^{16} + 139070880000000000000 x^{15} + 401166000000000000000 x^{14} + 1002915000000000000000 x^{13} + 2172982500000000000000 x^{12} + 4074342187500000000000 x^{11} + 6590847656250000000000 x^{10} + 9153955078125000000000 x^{9} + 10840209960937500000000 x^{8} + 10840209960937500000000 x^{7} + 9033508300781250000000 x^{6} + 6159210205078125000000 x^{5} + 3347396850585937500000 x^{4} + 1394748687744140625000 x^{3} + 418424606323242187500 x^{2} + 80466270446777343750 x + 7450580596923828125$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 134217728 x^{27}\, dx = 134217728 \int x^{27}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{27}\, dx = \frac{x^{28}}{28}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{33554432 x^{28}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9059696640 x^{26}\, dx = 9059696640 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $335544320 x^{27}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 294440140800 x^{25}\, dx = 294440140800 \int x^{25}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{25}\, dx = \frac{x^{26}}{26}$

         Por lo tanto, el resultado es: $11324620800 x^{26}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6134169600000 x^{24}\, dx = 6134169600000 \int x^{24}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{24}\, dx = \frac{x^{25}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $245366784000 x^{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 92012544000000 x^{23}\, dx = 92012544000000 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3833856000000 x^{24}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1058144256000000 x^{22}\, dx = 1058144256000000 \int x^{22}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

         Por lo tanto, el resultado es: $46006272000000 x^{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9699655680000000 x^{21}\, dx = 9699655680000000 \int x^{21}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{21}\, dx = \frac{x^{22}}{22}$

         Por lo tanto, el resultado es: $440893440000000 x^{22}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 72747417600000000 x^{20}\, dx = 72747417600000000 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{24249139200000000 x^{21}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 454671360000000000 x^{19}\, dx = 454671360000000000 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $22733568000000000 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2399654400000000000 x^{18}\, dx = 2399654400000000000 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $126297600000000000 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10798444800000000000 x^{17}\, dx = 10798444800000000000 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $599913600000000000 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 41721264000000000000 x^{16}\, dx = 41721264000000000000 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2454192000000000000 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 139070880000000000000 x^{15}\, dx = 139070880000000000000 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8691930000000000000 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 401166000000000000000 x^{14}\, dx = 401166000000000000000 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $26744400000000000000 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1002915000000000000000 x^{13}\, dx = 1002915000000000000000 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{501457500000000000000 x^{14}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2172982500000000000000 x^{12}\, dx = 2172982500000000000000 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $167152500000000000000 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4074342187500000000000 x^{11}\, dx = 4074342187500000000000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $339528515625000000000 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6590847656250000000000 x^{10}\, dx = 6590847656250000000000 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $599167968750000000000 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9153955078125000000000 x^{9}\, dx = 9153955078125000000000 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $915395507812500000000 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10840209960937500000000 x^{8}\, dx = 10840209960937500000000 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1204467773437500000000 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 10840209960937500000000 x^{7}\, dx = 10840209960937500000000 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1355026245117187500000 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9033508300781250000000 x^{6}\, dx = 9033508300781250000000 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9033508300781250000000 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6159210205078125000000 x^{5}\, dx = 6159210205078125000000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1026535034179687500000 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3347396850585937500000 x^{4}\, dx = 3347396850585937500000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $669479370117187500000 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1394748687744140625000 x^{3}\, dx = 1394748687744140625000 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $348687171936035156250 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 418424606323242187500 x^{2}\, dx = 418424606323242187500 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $139474868774414062500 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 80466270446777343750 x\, dx = 80466270446777343750 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $40233135223388671875 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 7450580596923828125\, dx = 7450580596923828125 x$

      El resultado es: $\frac{33554432 x^{28}}{7} + 335544320 x^{27} + 11324620800 x^{26} + 245366784000 x^{25} + 3833856000000 x^{24} + 46006272000000 x^{23} + 440893440000000 x^{22} + \frac{24249139200000000 x^{21}}{7} + 22733568000000000 x^{20} + 126297600000000000 x^{19} + 599913600000000000 x^{18} + 2454192000000000000 x^{17} + 8691930000000000000 x^{16} + 26744400000000000000 x^{15} + \frac{501457500000000000000 x^{14}}{7} + 167152500000000000000 x^{13} + 339528515625000000000 x^{12} + 599167968750000000000 x^{11} + 915395507812500000000 x^{10} + 1204467773437500000000 x^{9} + 1355026245117187500000 x^{8} + \frac{9033508300781250000000 x^{7}}{7} + 1026535034179687500000 x^{6} + 669479370117187500000 x^{5} + 348687171936035156250 x^{4} + 139474868774414062500 x^{3} + 40233135223388671875 x^{2} + 7450580596923828125 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x + 5\right)^{28}}{56}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x + 5\right)^{28}}{56}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x + 5\right)^{28}}{56}+ \mathrm{constant}$