Integral de x^2*(7x^3+5)^9dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 x^{3} + 5$.

      Luego que $du = 21 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{21}$:

      $\int \frac{u^{9}}{21}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{9}\, du = \frac{\int u^{9}\, du}{21}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{9}\, du = \frac{u^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{10}}{210}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(7 x^{3} + 5\right)^{10}}{210}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{2} \left(7 x^{3} + 5\right)^{9} = 40353607 x^{29} + 259416045 x^{26} + 741188700 x^{23} + 1235314500 x^{20} + 1323551250 x^{17} + 945393750 x^{14} + 450187500 x^{11} + 137812500 x^{8} + 24609375 x^{5} + 1953125 x^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 40353607 x^{29}\, dx = 40353607 \int x^{29}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{29}\, dx = \frac{x^{30}}{30}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{40353607 x^{30}}{30}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 259416045 x^{26}\, dx = 259416045 \int x^{26}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{28824005 x^{27}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 741188700 x^{23}\, dx = 741188700 \int x^{23}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{23}\, dx = \frac{x^{24}}{24}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{61765725 x^{24}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1235314500 x^{20}\, dx = 1235314500 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $58824500 x^{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1323551250 x^{17}\, dx = 1323551250 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $73530625 x^{18}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 945393750 x^{14}\, dx = 945393750 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $63026250 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 450187500 x^{11}\, dx = 450187500 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $37515625 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 137812500 x^{8}\, dx = 137812500 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $15312500 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 24609375 x^{5}\, dx = 24609375 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8203125 x^{6}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1953125 x^{2}\, dx = 1953125 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1953125 x^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{40353607 x^{30}}{30} + \frac{28824005 x^{27}}{3} + \frac{61765725 x^{24}}{2} + 58824500 x^{21} + 73530625 x^{18} + 63026250 x^{15} + 37515625 x^{12} + 15312500 x^{9} + \frac{8203125 x^{6}}{2} + \frac{1953125 x^{3}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(7 x^{3} + 5\right)^{10}}{210}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(7 x^{3} + 5\right)^{10}}{210}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(7 x^{3} + 5\right)^{10}}{210}+ \mathrm{constant}$