Integral de ((x+2)(x^2-3))/x^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 3\right)}{x^{3}} = 1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3}{x^{2}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{x^{3}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{x^{2}}$

      El resultado es: $x + 2 \log{\left(x \right)} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(x + 2\right) \left(x^{2} - 3\right)}{x^{3}} = \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 3 x - 6}{x^{3}} = 1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x}\, dx = 2 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3}{x^{2}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{x^{3}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{x^{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{x^{2}}$

      El resultado es: $x + 2 \log{\left(x \right)} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x + 2 \log{\left(x \right)} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + 2 \log{\left(x \right)} + \frac{3}{x} + \frac{3}{x^{2}}+ \mathrm{constant}$