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Resolución de integrales/ x^2+4/ (3x+1)/ (3x+1)/(x^2+4x+5)

Integral de (3x+1)/(x^2+4x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                
  /                
 |                 
 |    3*x + 1      
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 4*x + 5   
 |                 
/                  
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x + 1}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}\, dx$$ 
Integral((3*x + 1)/(x^2 + 4*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |   3*x + 1      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 4*x + 5   
 |                
/
Reescribimos la función subintegral
                   2*x + 4                   
               3*------------       /-5 \    
                  2                 |---|    
  3*x + 1        x  + 4*x + 5       \ 1 /    
------------ = -------------- + -------------
 2                   2                  2    
x  + 4*x + 5                    (-x - 2)  + 1
o
  /                 
 |                  
 |   3*x + 1        
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 4*x + 5     
 |                  
/                   
  
                              /               
                             |                
                             |   2*x + 4      
                          3* | ------------ dx
                             |  2             
      /                      | x  + 4*x + 5   
     |                       |                
     |       1              /                 
- 5* | ------------- dx + --------------------
     |         2                   2          
     | (-x - 2)  + 1                          
     |                                        
    /
En integral
    /               
   |                
   |   2*x + 4      
3* | ------------ dx
   |  2             
   | x  + 4*x + 5   
   |                
  /                 
--------------------
         2
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 4*x
entonces
integral =
    /                       
   |                        
   |   1                    
3* | ----- du               
   | 5 + u                  
   |                        
  /             3*log(5 + u)
------------- = ------------
      2              2
hacemos cambio inverso
    /                                     
   |                                      
   |   2*x + 4                            
3* | ------------ dx                      
   |  2                                   
   | x  + 4*x + 5                         
   |                        /     2      \
  /                    3*log\5 + x  + 4*x/
-------------------- = -------------------
         2                      2
En integral
     /                
    |                 
    |       1         
-5* | ------------- dx
    |         2       
    | (-x - 2)  + 1   
    |                 
   /
hacemos el cambio
v = -2 - x
entonces
integral =
     /                      
    |                       
    |   1                   
-5* | ------ dv = -5*atan(v)
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /
hacemos cambio inverso
     /                                 
    |                                  
    |       1                          
-5* | ------------- dx = -5*atan(2 + x)
    |         2                        
    | (-x - 2)  + 1                    
    |                                  
   /
La solución:
                         /     2      \
                    3*log\5 + x  + 4*x/
C - 5*atan(2 + x) + -------------------
                             2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                         
 |                                            /     2      \
 |   3*x + 1                             3*log\5 + x  + 4*x/
 | ------------ dx = C - 5*atan(2 + x) + -------------------
 |  2                                             2         
 | x  + 4*x + 5                                             
 |                                                          
/
$$\int \frac{3 x + 1}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 5}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} + 4 x + 5 \right)}}{2} - 5 \operatorname{atan}{\left(x + 2 \right)}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                         3*log(5)   3*log(10)
-5*atan(3) + 5*atan(2) - -------- + ---------
                            2           2
$$- 5 \operatorname{atan}{\left(3 \right)} - \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(10 \right)}}{2} + 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$ 
=
= 
                         3*log(5)   3*log(10)
-5*atan(3) + 5*atan(2) - -------- + ---------
                            2           2
$$- 5 \operatorname{atan}{\left(3 \right)} - \frac{3 \log{\left(5 \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(10 \right)}}{2} + 5 \operatorname{atan}{\left(2 \right)}$$ 
-5*atan(3) + 5*atan(2) - 3*log(5)/2 + 3*log(10)/2
Respuesta numérica [src] 
0.330235497819098
0.330235497819098

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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