Sr Examen
Integral de x/(x^(2)+2x+2) dx
Solución
Ha introducido
[src]
oo / | | x | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 2 | / 0
$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}\, dx$$
Integral(x/(x^2 + 2*x + 2), (x, 0, oo))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 2 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 2*x + 2 \
|------------| /-1 \
| 2 | |---|
x \x + 2*x + 2/ \ 1 /
------------ = -------------- + -------------
2 2 2
x + 2*x + 2 (-x - 1) + 1o
/ | | x | ------------ dx | 2 = | x + 2*x + 2 | /
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2 /
| |
/ | 1
------------------ - | ------------- dx
2 | 2
| (-x - 1) + 1
|
/ En integral
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
|
/
------------------
2 hacemos el cambio
2 u = x + 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 2 + u
|
/ log(2 + u)
----------- = ----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 2*x + 2
| ------------ dx
| 2
| x + 2*x + 2
| / 2 \
/ log\2 + x + 2*x/
------------------ = -----------------
2 2 En integral
/ | | 1 - | ------------- dx | 2 | (-x - 1) + 1 | /
hacemos el cambio
v = -1 - x
entonces
integral =
/ | | 1 - | ------ dv = -atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | | 1 - | ------------- dx = -atan(1 + x) | 2 | (-x - 1) + 1 | /
La solución:
/ 2 \
log\2 + x + 2*x/
C + ----------------- - atan(1 + x)
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ | x log\2 + x + 2*x/ | ------------ dx = C + ----------------- - atan(1 + x) | 2 2 | x + 2*x + 2 | /
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 2}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 2 x + 2 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}$$
Gráfica
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.