Integral de (x-1)/(2*x-1)^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{2 x - 1}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x - 1}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{u^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2}}{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{6}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, du = - \frac{u}{2}$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{6} - \frac{u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x - 1}{\sqrt{2 x - 1}} = \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} - \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(- 2 \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 2 \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\, du$

               1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                  Método #1

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                        $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{2 u}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{4}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{3}}$

                     El resultado es: $\frac{u}{4} - \frac{1}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}$

                  Método #2

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{4 u^{4}}$

                  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{4}$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{u^{4} + 2 u^{2} + 1}{u^{4}} = 1 + \frac{2}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        El resultado es: $u - \frac{2}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{4} - \frac{1}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{2} + \frac{1}{u} + \frac{1}{6 u^{3}}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{2 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{2 u}$

            El resultado es: $\frac{1}{2 u} + \frac{1}{6 u^{3}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}\, dx$

         1. que $u = 2 x - 1$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sqrt{2 x - 1}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{2 x - 1}$

      El resultado es: $\frac{\left(2 x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{\sqrt{2 x - 1}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 2\right) \sqrt{2 x - 1}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 2\right) \sqrt{2 x - 1}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 2\right) \sqrt{2 x - 1}}{3}+ \mathrm{constant}$