Integral de sin(3x)/(7-5cos(3x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(u \right)}}{15 \cos{\left(u \right)} - 21}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{15 \cos{\left(u \right)} - 21}\, du = - \int \frac{\sin{\left(u \right)}}{15 \cos{\left(u \right)} - 21}\, du$

         1. que $u = 15 \cos{\left(u \right)} - 21$.

            Luego que $du = - 15 \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- \frac{du}{15}$:

            $\int \left(- \frac{1}{15 u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{15}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(15 \cos{\left(u \right)} - 21 \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(15 \cos{\left(u \right)} - 21 \right)}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(15 \cos{\left(3 x \right)} - 21 \right)}}{15}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{7 - 5 \cos{\left(3 x \right)}} = - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{5 \cos{\left(3 x \right)} - 7}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{5 \cos{\left(3 x \right)} - 7}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{5 \cos{\left(3 x \right)} - 7}\, dx$

      1. que $u = 5 \cos{\left(3 x \right)} - 7$.

         Luego que $du = - 15 \sin{\left(3 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{15}$:

         $\int \left(- \frac{1}{15 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{15}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{15}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(5 \cos{\left(3 x \right)} - 7 \right)}}{15}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(5 \cos{\left(3 x \right)} - 7 \right)}}{15}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(15 \cos{\left(3 x \right)} - 21 \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(15 \cos{\left(3 x \right)} - 21 \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$