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Resolución de integrales/ √3x+1/ (9x-4)/(4√3x+1)

Integral de (9x-4)/(4√3x+1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  5                 
  /                 
 |                  
 |     9*x - 4      
 |  ------------- dx
 |      _____       
 |  4*\/ 3*x  + 1   
 |                  
/                   
0
∫059x−443x+1 dx\int\limits_{0}^{5} \frac{9 x - 4}{4 \sqrt{3 x} + 1}\, dx 
Integral((9*x - 4)/(4*sqrt(3*x) + 1), (x, 0, 5))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    9x−443x+1=9x43x+1−443x+1\frac{9 x - 4}{4 \sqrt{3 x} + 1} = \frac{9 x}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1} - \frac{4}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫9x43x+1 dx=9∫x43x+1 dx\int \frac{9 x}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}\, dx = 9 \int \frac{x}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}\, dx

      1. que u=xu = \sqrt{x}.

        Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u343u+1 du\int \frac{2 u^{3}}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u343u+1 du=2∫u343u+1 du\int \frac{u^{3}}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u343u+1=3u212−u48+3576−3576(43u+1)\frac{u^{3}}{4 \sqrt{3} u + 1} = \frac{\sqrt{3} u^{2}}{12} - \frac{u}{48} + \frac{\sqrt{3}}{576} - \frac{\sqrt{3}}{576 \left(4 \sqrt{3} u + 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫3u212 du=3∫u2 du12\int \frac{\sqrt{3} u^{2}}{12}\, du = \frac{\sqrt{3} \int u^{2}\, du}{12}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: 3u336\frac{\sqrt{3} u^{3}}{36}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u48) du=−∫u du48\int \left(- \frac{u}{48}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{48}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u296- \frac{u^{2}}{96}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫3576 du=3u576\int \frac{\sqrt{3}}{576}\, du = \frac{\sqrt{3} u}{576}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−3576(43u+1)) du=−3∫143u+1 du576\int \left(- \frac{\sqrt{3}}{576 \left(4 \sqrt{3} u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du}{576}

              1. que u=43u+1u = 4 \sqrt{3} u + 1.

                Luego que du=43dudu = 4 \sqrt{3} du y ponemos 3du12\frac{\sqrt{3} du}{12}:

                ∫312u du\int \frac{\sqrt{3}}{12 u}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1u du=3∫1u du12\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{12}

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(u)12\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{12}

                Si ahora sustituir uu más en:

                3log⁡(43u+1)12\frac{\sqrt{3} \log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{12}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(43u+1)2304- \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{2304}

            El resultado es: 3u336−u296+3u576−log⁡(43u+1)2304\frac{\sqrt{3} u^{3}}{36} - \frac{u^{2}}{96} + \frac{\sqrt{3} u}{576} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{2304}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u318−u248+3u288−log⁡(43u+1)1152\frac{\sqrt{3} u^{3}}{18} - \frac{u^{2}}{48} + \frac{\sqrt{3} u}{288} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{1152}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3x3218+3x288−x48−log⁡(43x+1)1152\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{288} - \frac{x}{48} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{1152}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x322+3x32−3x16−log⁡(43x+1)128\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{32} - \frac{3 x}{16} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{128}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−443x+1) dx=−4∫143x+1 dx\int \left(- \frac{4}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}\, dx

      1. que u=xu = \sqrt{x}.

        Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u43u+1 du\int \frac{2 u}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u43u+1 du=2∫u43u+1 du\int \frac{u}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u43u+1=312−312(43u+1)\frac{u}{4 \sqrt{3} u + 1} = \frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{\sqrt{3}}{12 \left(4 \sqrt{3} u + 1\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫312 du=3u12\int \frac{\sqrt{3}}{12}\, du = \frac{\sqrt{3} u}{12}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−312(43u+1)) du=−3∫143u+1 du12\int \left(- \frac{\sqrt{3}}{12 \left(4 \sqrt{3} u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du}{12}

              1. que u=43u+1u = 4 \sqrt{3} u + 1.

                Luego que du=43dudu = 4 \sqrt{3} du y ponemos 3du12\frac{\sqrt{3} du}{12}:

                ∫312u du\int \frac{\sqrt{3}}{12 u}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1u du=3∫1u du12\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{12}

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(u)12\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{12}

                Si ahora sustituir uu más en:

                3log⁡(43u+1)12\frac{\sqrt{3} \log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{12}

              Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(43u+1)48- \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{48}

            El resultado es: 3u12−log⁡(43u+1)48\frac{\sqrt{3} u}{12} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{48}

          Por lo tanto, el resultado es: 3u6−log⁡(43u+1)24\frac{\sqrt{3} u}{6} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{24}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3x6−log⁡(43x+1)24\frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{6} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{24}

      Por lo tanto, el resultado es: −23x3+log⁡(43x+1)6- \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{x}}{3} + \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{6}

    El resultado es: 3x322−613x96−3x16+61log⁡(43x+1)384\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{61 \sqrt{3} \sqrt{x}}{96} - \frac{3 x}{16} + \frac{61 \log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{384}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x322−613x96−3x16+61log⁡(43x+1)384+constant\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{61 \sqrt{3} \sqrt{x}}{96} - \frac{3 x}{16} + \frac{61 \log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{384}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x322−613x96−3x16+61log⁡(43x+1)384+constant\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{61 \sqrt{3} \sqrt{x}}{96} - \frac{3 x}{16} + \frac{61 \log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{384}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                    
 |                                    /        ___   ___\     ___  3/2        ___   ___
 |    9*x - 4             3*x   61*log\1 + 4*\/ 3 *\/ x /   \/ 3 *x      61*\/ 3 *\/ x 
 | ------------- dx = C - --- + ------------------------- + ---------- - --------------
 |     _____               16              384                  2              96      
 | 4*\/ 3*x  + 1                                                                       
 |                                                                                     
/
∫9x−443x+1 dx=C+3x322−613x96−3x16+61log⁡(43x+1)384\int \frac{9 x - 4}{4 \sqrt{3 x} + 1}\, dx = C + \frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{61 \sqrt{3} \sqrt{x}}{96} - \frac{3 x}{16} + \frac{61 \log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{384}
Simplificar
Gráfica
0.05.00.51.01.52.02.53.03.54.04.5-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
             /        ____\         ____
  15   61*log\1 + 4*\/ 15 /   179*\/ 15 
- -- + -------------------- + ----------
  16           384                96
−1516+61log⁡(1+415)384+1791596- \frac{15}{16} + \frac{61 \log{\left(1 + 4 \sqrt{15} \right)}}{384} + \frac{179 \sqrt{15}}{96} 
=
= 
             /        ____\         ____
  15   61*log\1 + 4*\/ 15 /   179*\/ 15 
- -- + -------------------- + ----------
  16           384                96
−1516+61log⁡(1+415)384+1791596- \frac{15}{16} + \frac{61 \log{\left(1 + 4 \sqrt{15} \right)}}{384} + \frac{179 \sqrt{15}}{96} 
-15/16 + 61*log(1 + 4*sqrt(15))/384 + 179*sqrt(15)/96
Respuesta numérica [src] 
6.72924799425991
6.72924799425991

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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