Integral de (9x-4)/(4√3x+1) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{9 x - 4}{4 \sqrt{3 x} + 1} = \frac{9 x}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1} - \frac{4}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{9 x}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}\, dx = 9 \int \frac{x}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u^{3}}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{3}}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{3}}{4 \sqrt{3} u + 1} = \frac{\sqrt{3} u^{2}}{12} - \frac{u}{48} + \frac{\sqrt{3}}{576} - \frac{\sqrt{3}}{576 \left(4 \sqrt{3} u + 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{\sqrt{3} u^{2}}{12}\, du = \frac{\sqrt{3} \int u^{2}\, du}{12}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} u^{3}}{36}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u}{48}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{48}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{96}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{\sqrt{3}}{576}\, du = \frac{\sqrt{3} u}{576}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\sqrt{3}}{576 \left(4 \sqrt{3} u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du}{576}$

                  1. que $u = 4 \sqrt{3} u + 1$.

                     Luego que $du = 4 \sqrt{3} du$ y ponemos $\frac{\sqrt{3} du}{12}$:

                     $\int \frac{\sqrt{3}}{12 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{12}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{12}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sqrt{3} \log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{12}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{2304}$

               El resultado es: $\frac{\sqrt{3} u^{3}}{36} - \frac{u^{2}}{96} + \frac{\sqrt{3} u}{576} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{2304}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} u^{3}}{18} - \frac{u^{2}}{48} + \frac{\sqrt{3} u}{288} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{1152}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{288} - \frac{x}{48} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{1152}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{32} - \frac{3 x}{16} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{128}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{4}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}\right)\, dx = - 4 \int \frac{1}{4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du = 2 \int \frac{u}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{4 \sqrt{3} u + 1} = \frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{\sqrt{3}}{12 \left(4 \sqrt{3} u + 1\right)}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{\sqrt{3}}{12}\, du = \frac{\sqrt{3} u}{12}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{\sqrt{3}}{12 \left(4 \sqrt{3} u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{4 \sqrt{3} u + 1}\, du}{12}$

                  1. que $u = 4 \sqrt{3} u + 1$.

                     Luego que $du = 4 \sqrt{3} du$ y ponemos $\frac{\sqrt{3} du}{12}$:

                     $\int \frac{\sqrt{3}}{12 u}\, du$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\sqrt{3} \int \frac{1}{u}\, du}{12}$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} \log{\left(u \right)}}{12}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\frac{\sqrt{3} \log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{12}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{48}$

               El resultado es: $\frac{\sqrt{3} u}{12} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{48}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} u}{6} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} u + 1 \right)}}{24}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{3} \sqrt{x}}{6} - \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{24}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{x}}{3} + \frac{\log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{6}$

   El resultado es: $\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{61 \sqrt{3} \sqrt{x}}{96} - \frac{3 x}{16} + \frac{61 \log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{384}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{61 \sqrt{3} \sqrt{x}}{96} - \frac{3 x}{16} + \frac{61 \log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{384}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{3} x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{61 \sqrt{3} \sqrt{x}}{96} - \frac{3 x}{16} + \frac{61 \log{\left(4 \sqrt{3} \sqrt{x} + 1 \right)}}{384}+ \mathrm{constant}$