Sr Examen

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Resolución de integrales/ 1-t^2/ (2-3t)/((1-2t)*(1-t^2))

Integral de (2-3t)/((1-2t)*(1-t^2)) dt

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
   0                      
   /                      
  |                       
  |       2 - 3*t         
  |  ------------------ dt
  |            /     2\   
  |  (1 - 2*t)*\1 - t /   
  |                       
 /                        
-1/2
∫−1202−3t(1−2t)(1−t2) dt\int\limits_{- \frac{1}{2}}^{0} \frac{2 - 3 t}{\left(1 - 2 t\right) \left(1 - t^{2}\right)}\, dt 
Integral((2 - 3*t)/(((1 - 2*t)*(1 - t^2))), (t, -1/2, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−3t(1−2t)(1−t2)=−23(2t−1)+56(t+1)−12(t−1)\frac{2 - 3 t}{\left(1 - 2 t\right) \left(1 - t^{2}\right)} = - \frac{2}{3 \left(2 t - 1\right)} + \frac{5}{6 \left(t + 1\right)} - \frac{1}{2 \left(t - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−23(2t−1)) dt=−2∫12t−1 dt3\int \left(- \frac{2}{3 \left(2 t - 1\right)}\right)\, dt = - \frac{2 \int \frac{1}{2 t - 1}\, dt}{3}

        1. que u=2t−1u = 2 t - 1.

          Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(2t−1)2\frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2t−1)3- \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫56(t+1) dt=5∫1t+1 dt6\int \frac{5}{6 \left(t + 1\right)}\, dt = \frac{5 \int \frac{1}{t + 1}\, dt}{6}

        1. que u=t+1u = t + 1.

          Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 5log⁡(t+1)6\frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12(t−1)) dt=−∫1t−1 dt2\int \left(- \frac{1}{2 \left(t - 1\right)}\right)\, dt = - \frac{\int \frac{1}{t - 1}\, dt}{2}

        1. que u=t−1u = t - 1.

          Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(t−1)\log{\left(t - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(t−1)2- \frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: −log⁡(t−1)2+5log⁡(t+1)6−log⁡(2t−1)3- \frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} + \frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−3t(1−2t)(1−t2)=−3t−22t3−t2−2t+1\frac{2 - 3 t}{\left(1 - 2 t\right) \left(1 - t^{2}\right)} = - \frac{3 t - 2}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−3t−22t3−t2−2t+1) dt=−∫3t−22t3−t2−2t+1 dt\int \left(- \frac{3 t - 2}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1}\right)\, dt = - \int \frac{3 t - 2}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1}\, dt

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        3t−22t3−t2−2t+1=23(2t−1)−56(t+1)+12(t−1)\frac{3 t - 2}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1} = \frac{2}{3 \left(2 t - 1\right)} - \frac{5}{6 \left(t + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(t - 1\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫23(2t−1) dt=2∫12t−1 dt3\int \frac{2}{3 \left(2 t - 1\right)}\, dt = \frac{2 \int \frac{1}{2 t - 1}\, dt}{3}

          1. que u=2t−1u = 2 t - 1.

            Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2t−1)2\frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(2t−1)3\frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−56(t+1)) dt=−5∫1t+1 dt6\int \left(- \frac{5}{6 \left(t + 1\right)}\right)\, dt = - \frac{5 \int \frac{1}{t + 1}\, dt}{6}

          1. que u=t+1u = t + 1.

            Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −5log⁡(t+1)6- \frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫12(t−1) dt=∫1t−1 dt2\int \frac{1}{2 \left(t - 1\right)}\, dt = \frac{\int \frac{1}{t - 1}\, dt}{2}

          1. que u=t−1u = t - 1.

            Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(t−1)\log{\left(t - 1 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(t−1)2\frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2}

        El resultado es: log⁡(t−1)2−5log⁡(t+1)6+log⁡(2t−1)3\frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} - \frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6} + \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(t−1)2+5log⁡(t+1)6−log⁡(2t−1)3- \frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} + \frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2−3t(1−2t)(1−t2)=−3t2t3−t2−2t+1+22t3−t2−2t+1\frac{2 - 3 t}{\left(1 - 2 t\right) \left(1 - t^{2}\right)} = - \frac{3 t}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1} + \frac{2}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3t2t3−t2−2t+1) dt=−3∫t2t3−t2−2t+1 dt\int \left(- \frac{3 t}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1}\right)\, dt = - 3 \int \frac{t}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1}\, dt

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          t2t3−t2−2t+1=−23(2t−1)−16(t+1)+12(t−1)\frac{t}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1} = - \frac{2}{3 \left(2 t - 1\right)} - \frac{1}{6 \left(t + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(t - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−23(2t−1)) dt=−2∫12t−1 dt3\int \left(- \frac{2}{3 \left(2 t - 1\right)}\right)\, dt = - \frac{2 \int \frac{1}{2 t - 1}\, dt}{3}

            1. que u=2t−1u = 2 t - 1.

              Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2t−1)2\frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(2t−1)3- \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−16(t+1)) dt=−∫1t+1 dt6\int \left(- \frac{1}{6 \left(t + 1\right)}\right)\, dt = - \frac{\int \frac{1}{t + 1}\, dt}{6}

            1. que u=t+1u = t + 1.

              Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(t+1)6- \frac{\log{\left(t + 1 \right)}}{6}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(t−1) dt=∫1t−1 dt2\int \frac{1}{2 \left(t - 1\right)}\, dt = \frac{\int \frac{1}{t - 1}\, dt}{2}

            1. que u=t−1u = t - 1.

              Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(t−1)\log{\left(t - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(t−1)2\frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: log⁡(t−1)2−log⁡(t+1)6−log⁡(2t−1)3\frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(t + 1 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −3log⁡(t−1)2+log⁡(t+1)2+log⁡(2t−1)- \frac{3 \log{\left(t - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(t + 1 \right)}}{2} + \log{\left(2 t - 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫22t3−t2−2t+1 dt=2∫12t3−t2−2t+1 dt\int \frac{2}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1}\, dt = 2 \int \frac{1}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1}\, dt

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          12t3−t2−2t+1=−43(2t−1)+16(t+1)+12(t−1)\frac{1}{2 t^{3} - t^{2} - 2 t + 1} = - \frac{4}{3 \left(2 t - 1\right)} + \frac{1}{6 \left(t + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(t - 1\right)}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−43(2t−1)) dt=−4∫12t−1 dt3\int \left(- \frac{4}{3 \left(2 t - 1\right)}\right)\, dt = - \frac{4 \int \frac{1}{2 t - 1}\, dt}{3}

            1. que u=2t−1u = 2 t - 1.

              Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(2t−1)2\frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −2log⁡(2t−1)3- \frac{2 \log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫16(t+1) dt=∫1t+1 dt6\int \frac{1}{6 \left(t + 1\right)}\, dt = \frac{\int \frac{1}{t + 1}\, dt}{6}

            1. que u=t+1u = t + 1.

              Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(t+1)\log{\left(t + 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(t+1)6\frac{\log{\left(t + 1 \right)}}{6}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12(t−1) dt=∫1t−1 dt2\int \frac{1}{2 \left(t - 1\right)}\, dt = \frac{\int \frac{1}{t - 1}\, dt}{2}

            1. que u=t−1u = t - 1.

              Luego que du=dtdu = dt y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(t−1)\log{\left(t - 1 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(t−1)2\frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2}

          El resultado es: log⁡(t−1)2+log⁡(t+1)6−2log⁡(2t−1)3\frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(t + 1 \right)}}{6} - \frac{2 \log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(t−1)+log⁡(t+1)3−4log⁡(2t−1)3\log{\left(t - 1 \right)} + \frac{\log{\left(t + 1 \right)}}{3} - \frac{4 \log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

      El resultado es: −log⁡(t−1)2+5log⁡(t+1)6−log⁡(2t−1)3- \frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} + \frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(t−1)2+5log⁡(t+1)6−log⁡(2t−1)3+constant- \frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} + \frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(t−1)2+5log⁡(t+1)6−log⁡(2t−1)3+constant- \frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} + \frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                      
 |                                                                       
 |      2 - 3*t                log(-1 + t)   log(-1 + 2*t)   5*log(1 + t)
 | ------------------ dt = C - ----------- - ------------- + ------------
 |           /     2\               2              3              6      
 | (1 - 2*t)*\1 - t /                                                    
 |                                                                       
/
∫2−3t(1−2t)(1−t2) dt=C−log⁡(t−1)2+5log⁡(t+1)6−log⁡(2t−1)3\int \frac{2 - 3 t}{\left(1 - 2 t\right) \left(1 - t^{2}\right)}\, dt = C - \frac{\log{\left(t - 1 \right)}}{2} + \frac{5 \log{\left(t + 1 \right)}}{6} - \frac{\log{\left(2 t - 1 \right)}}{3}
Simplificar
Gráfica
-0.50-0.45-0.40-0.35-0.30-0.25-0.20-0.15-0.10-0.050.001.52.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
log(3/2)   7*log(2)
-------- + --------
   2          6
log⁡(32)2+7log⁡(2)6\frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{2} + \frac{7 \log{\left(2 \right)}}{6} 
=
= 
log(3/2)   7*log(2)
-------- + --------
   2          6
log⁡(32)2+7log⁡(2)6\frac{\log{\left(\frac{3}{2} \right)}}{2} + \frac{7 \log{\left(2 \right)}}{6} 
log(3/2)/2 + 7*log(2)/6
Respuesta numérica [src] 
1.01140426470735
1.01140426470735

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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