Integral de (((x^(1/4))-2x^2+1)/5x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[4]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{8 u^{15}}{5} + \frac{4 u^{8}}{5} + \frac{4 u^{7}}{5}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{8 u^{15}}{5}\right)\, du = - \frac{8 \int u^{15}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{15}\, du = \frac{u^{16}}{16}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{16}}{10}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4 u^{8}}{5}\, du = \frac{4 \int u^{8}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{9}}{45}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4 u^{7}}{5}\, du = \frac{4 \int u^{7}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{8}}{10}$

         El resultado es: $- \frac{u^{16}}{10} + \frac{4 u^{9}}{45} + \frac{u^{8}}{10}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{45} - \frac{x^{4}}{10} + \frac{x^{2}}{10}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \frac{\left(\sqrt[4]{x} - 2 x^{2}\right) + 1}{5} = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{2 x^{3}}{5} + \frac{x}{5}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{\frac{5}{4}}}{5}\, dx = \frac{\int x^{\frac{5}{4}}\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{4}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{45}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 x^{3}}{5}\right)\, dx = - \frac{2 \int x^{3}\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{5}\, dx = \frac{\int x\, dx}{5}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{10}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{45} - \frac{x^{4}}{10} + \frac{x^{2}}{10}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{45} - \frac{x^{4}}{10} + \frac{x^{2}}{10}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{45} - \frac{x^{4}}{10} + \frac{x^{2}}{10}+ \mathrm{constant}$