Integral de (3x+x^5)/x^(1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[4]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{4 x^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u^{22} + 12 u^{6}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{22}\, du = 4 \int u^{22}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{23}}{23}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 u^{6}\, du = 12 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 u^{7}}{7}$

         El resultado es: $\frac{4 u^{23}}{23} + \frac{12 u^{7}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{4 x^{\frac{23}{4}}}{23} + \frac{12 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5} + 3 x}{\sqrt[4]{x}} = x^{\frac{19}{4}} + 3 x^{\frac{3}{4}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{\frac{19}{4}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{23}{4}}}{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{3}{4}}\, dx = 3 \int x^{\frac{3}{4}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{4}}\, dx = \frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{23}{4}}}{23} + \frac{12 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5} + 3 x}{\sqrt[4]{x}} = \frac{x^{5}}{\sqrt[4]{x}} + \frac{3 x}{\sqrt[4]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{4 x^{\frac{5}{4}}}$ y ponemos $- 4 du$:

         $\int \left(- \frac{4}{u^{24}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u^{24}}\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{24}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{24}}\, du = - \frac{1}{23 u^{23}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{23 u^{23}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{4 x^{\frac{23}{4}}}{23}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{\sqrt[4]{x}}\, dx = 3 \int \frac{x}{\sqrt[4]{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{4 x^{\frac{5}{4}}}$ y ponemos $- 4 du$:

            $\int \left(- \frac{4}{u^{8}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - 4 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4}{7 u^{7}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{4 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

      El resultado es: $\frac{4 x^{\frac{23}{4}}}{23} + \frac{12 x^{\frac{7}{4}}}{7}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 x^{\frac{7}{4}} \left(7 x^{4} + 69\right)}{161}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 x^{\frac{7}{4}} \left(7 x^{4} + 69\right)}{161}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 x^{\frac{7}{4}} \left(7 x^{4} + 69\right)}{161}+ \mathrm{constant}$