Integral de 1/4*((x+1)*(4x-1)) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(x + 1\right) \left(4 x - 1\right)}{4}\, dx = \frac{\int \left(x + 1\right) \left(4 x - 1\right)\, dx}{4}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x + 1\right) \left(4 x - 1\right) = 4 x^{2} + 3 x - 1$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-1\right)\, dx = - x$

      El resultado es: $\frac{4 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{8} - \frac{x}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(8 x^{2} + 9 x - 6\right)}{24}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(8 x^{2} + 9 x - 6\right)}{24}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(8 x^{2} + 9 x - 6\right)}{24}+ \mathrm{constant}$